Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg1bas 17737
 Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
symg1bas (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symg1bas.2 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 17721 . 2 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
4 symg1bas.0 . . . . . 6 𝐴 = {𝐼}
5 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
75, 6, 6f1oeq123d 6090 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9 f1of 6094 . . . . . . 7 (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10 fsng 6358 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
1110anidms 676 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
129, 11syl5ib 234 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13 f1osng 6134 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
1413anidms 676 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15 f1oeq1 6084 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1614, 15syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1712, 16impbid 202 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
188, 17syl5bb 272 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19 vex 3189 . . . . 5 𝑝 ∈ V
20 f1oeq1 6084 . . . . 5 (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:𝐴1-1-onto𝐴))
2119, 20elab 3333 . . . 4 (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝:𝐴1-1-onto𝐴)
22 velsn 4164 . . . 4 (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2318, 21, 223bitr4g 303 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
2423eqrdv 2619 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
253, 24syl5eq 2667 1 (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  {csn 4148  ⟨cop 4154  ⟶wf 5843  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  SymGrpcsymg 17718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-symg 17719 This theorem is referenced by:  symg2bas  17739  psgnsn  17861  m1detdiag  20322
 Copyright terms: Public domain W3C validator