Theorem symgbasfi 18501

Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbasfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 8814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2	1	anidms 569	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
3		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 18493	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		f1of 6609	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4042	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
8	5, 7	eqsstri 4000	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
9		mapvalg 8410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
10	9	anidms 569	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
11	8, 10	sseqtrrid 4019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	2, 11	ssfid 8735	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799  ⟶wf 6345  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  Basecbs 16477  SymGrpcsymg 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-efmnd 18028  df-symg 18490

This theorem is referenced by:  mdetleib2  21191  mdetf  21198  mdetrlin  21205  mdetrsca  21206  mdetralt  21211  m2detleib  21234  smadiadetlem3  21271  smadiadet  21273  mdetpmtr1  31083