Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbasfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbasfi 17722
 Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbasfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfi 8207 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin)
21anidms 676 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin)
3 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgbas.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4symgbas 17716 . . . 4 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
6 f1of 6096 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
76ss2abi 3658 . . . 4 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
85, 7eqsstri 3619 . . 3 𝐵 ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
9 mapvalg 7813 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
109anidms 676 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑚 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
118, 10syl5sseqr 3638 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
12 ssfi 8125 . 2 (((𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝑚 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
132, 11, 12syl2anc 692 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {cab 2612   ⊆ wss 3560  ⟶wf 5846  –1-1-onto→wf1o 5849  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  Basecbs 15776  SymGrpcsymg 17713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-tset 15876  df-symg 17714 This theorem is referenced by:  mdetleib2  20308  mdetf  20315  mdetrlin  20322  mdetrsca  20323  mdetralt  20328  m2detleib  20351  smadiadetlem3  20388  smadiadet  20390  mdetpmtr1  29663
 Copyright terms: Public domain W3C validator