MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextres 17785
Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextres ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextfv 17778 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
43ralrimiv 2961 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
51, 2symgextf 17777 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
6 ffn 6012 . . . 4 (𝐸:𝑁𝑁𝐸 Fn 𝑁)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 Fn 𝑁)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
98, 1symgbasf 17744 . . . . 5 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 ffn 6012 . . . . 5 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑍𝑆𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
1211adantl 482 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 difssd 3722 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
14 fvreseq1 6284 . . 3 (((𝐸 Fn 𝑁𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
157, 12, 13, 14syl21anc 1322 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
164, 15mpbird 247 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cdif 3557  wss 3560  ifcif 4064  {csn 4155  cmpt 4683  cres 5086   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  Basecbs 15800  SymGrpcsymg 17737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-tset 15900  df-symg 17738
This theorem is referenced by:  symgfixfo  17799
  Copyright terms: Public domain W3C validator