MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfisg 17804
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfisg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2627 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2 eqidd 2627 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2627 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3671 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3621 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
98symggrp 17736 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2626 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
115, 10grpidcl 17366 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
138symgid 17737 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1413difeq1d 3710 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1514dmeqd 5291 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
16 resss 5385 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
17 ssdif0 3921 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
1816, 17mpbi 220 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
1918dmeqi 5290 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
20 dm0 5303 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2119, 20eqtri 2648 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22 0fin 8133 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
2321, 22eqeltri 2700 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
2415, 23syl6eqelr 2713 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
25 difeq1 3704 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
2625dmeqd 5291 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
2726eleq1d 2688 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2827elrab 3351 . . 3 ((0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2912, 24, 28sylanbrc 697 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
30 biid 251 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
31 difeq1 3704 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3231dmeqd 5291 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3332eleq1d 2688 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
3433elrab 3351 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
35 difeq1 3704 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3635dmeqd 5291 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3736eleq1d 2688 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3837elrab 3351 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3993ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
40 simp2l 1085 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
41 simp3l 1087 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2626 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
435, 42grpcl 17346 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4439, 40, 41, 43syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
458, 5, 42symgov 17726 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4640, 41, 45syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4746difeq1d 3710 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
4847dmeqd 5291 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
49 simp2r 1086 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
50 simp3r 1088 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
51 unfi 8172 . . . . . . 7 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
5249, 50, 51syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
53 mvdco 17781 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
54 ssfi 8125 . . . . . 6 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5552, 53, 54sylancl 693 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5648, 55eqeltrd 2704 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57 difeq1 3704 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5857dmeqd 5291 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5958eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6059elrab 3351 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6144, 56, 60sylanbrc 697 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6230, 34, 38, 61syl3anb 1366 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
639adantr 481 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
64 simprl 793 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
65 eqid 2626 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
665, 65grpinvcl 17383 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6763, 64, 66syl2anc 692 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
688, 5, 65symginv 17738 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6968ad2antrl 763 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
7069difeq1d 3710 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
7170dmeqd 5291 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
728, 5symgbasf1o 17719 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372ad2antrl 763 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
74 f1omvdcnv 17780 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7671, 75eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77 simprr 795 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
7876, 77eqeltrd 2704 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79 difeq1 3704 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8079dmeqd 5291 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8180eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8281elrab 3351 . . . 4 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8367, 78, 82sylanbrc 697 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
8434, 83sylan2b 492 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 17526 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  c0 3896   I cid 4989  ccnv 5078  dom cdm 5079  cres 5081  ccom 5083  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  Basecbs 15776  s cress 15777  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  invgcminusg 17339  SubGrpcsubg 17504  SymGrpcsymg 17713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-tset 15876  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-symg 17714
This theorem is referenced by:  symggen  17806  psgndmsubg  17838
  Copyright terms: Public domain W3C validator