MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfisg 17934
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgsssg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgfisg (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) = (𝐺s {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}))
2 eqidd 2652 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2652 . 2 (𝐷𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ 𝐵
5 symgsssg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5sseqtri 3670 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺)
76a1i 11 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (Base‘𝐺))
8 symgsssg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
98symggrp 17866 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
115, 10grpidcl 17497 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
138symgid 17867 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
1413difeq1d 3760 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
1514dmeqd 5358 . . . 4 (𝐷𝑉 → dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
16 resss 5457 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
17 ssdif0 3975 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
1816, 17mpbi 220 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
1918dmeqi 5357 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
20 dm0 5371 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
2119, 20eqtri 2673 . . . . 5 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
22 0fin 8229 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
2321, 22eqeltri 2726 . . . 4 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) ∈ Fin
2415, 23syl6eqelr 2739 . . 3 (𝐷𝑉 → dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin)
25 difeq1 3754 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 ∖ I ) = ((0g𝐺) ∖ I ))
2625dmeqd 5358 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((0g𝐺) ∖ I ))
2726eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2827elrab 3396 . . 3 ((0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ dom ((0g𝐺) ∖ I ) ∈ Fin))
2912, 24, 28sylanbrc 699 . 2 (𝐷𝑉 → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
30 biid 251 . . 3 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
31 difeq1 3754 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
3231dmeqd 5358 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
3332eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
3433elrab 3396 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin))
35 difeq1 3754 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
3635dmeqd 5358 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
3736eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3837elrab 3396 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin))
3993ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
40 simp2l 1107 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
41 simp3l 1109 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
435, 42grpcl 17477 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
4439, 40, 41, 43syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
458, 5, 42symgov 17856 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4640, 41, 45syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
4746difeq1d 3760 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = ((𝑦𝑧) ∖ I ))
4847dmeqd 5358 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) = dom ((𝑦𝑧) ∖ I ))
49 simp2r 1108 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
50 simp3r 1110 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)
51 unfi 8268 . . . . . . 7 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
5249, 50, 51syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin)
53 mvdco 17911 . . . . . 6 dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))
54 ssfi 8221 . . . . . 6 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I )) ∈ Fin ∧ dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ⊆ (dom (𝑦 ∖ I ) ∪ dom (𝑧 ∖ I ))) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5552, 53, 54sylancl 695 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
5648, 55eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin)
57 difeq1 3754 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∖ I ) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5857dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ))
5958eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6059elrab 3396 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ dom ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∖ I ) ∈ Fin))
6144, 56, 60sylanbrc 699 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐵 ∧ dom (𝑧 ∖ I ) ∈ Fin)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6230, 34, 38, 61syl3anb 1409 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
639adantr 480 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ Grp)
64 simprl 809 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦𝐵)
65 eqid 2651 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
665, 65grpinvcl 17514 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6763, 64, 66syl2anc 694 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
688, 5, 65symginv 17868 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
6968ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) = 𝑦)
7069difeq1d 3760 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = (𝑦 ∖ I ))
7170dmeqd 5358 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
728, 5symgbasf1o 17849 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
74 f1omvdcnv 17910 . . . . . . 7 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
7671, 75eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) = dom (𝑦 ∖ I ))
77 simprr 811 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
7876, 77eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin)
79 difeq1 3754 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 ∖ I ) = (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8079dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ))
8180eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8281elrab 3396 . . . 4 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ dom (((invg𝐺)‘𝑦) ∖ I ) ∈ Fin))
8367, 78, 82sylanbrc 699 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑦𝐵 ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
8434, 83sylan2b 491 . 2 ((𝐷𝑉𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 17657 1 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948   I cid 5052  ccnv 5142  dom cdm 5143  cres 5145  ccom 5147  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  SubGrpcsubg 17635  SymGrpcsymg 17843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-symg 17844
This theorem is referenced by:  symggen  17936  psgndmsubg  17968
  Copyright terms: Public domain W3C validator