MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixelsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixelsi 18055
Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
Assertion
Ref Expression
symgfixelsi ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . . 5 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
31, 2symgfixelq 18053 . . . 4 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 ↔ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)))
4 f1of1 6297 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁1-1𝑁)
54ad2antrl 766 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁1-1𝑁)
6 difssd 3881 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7 f1ores 6312 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑁1-1𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
85, 6, 7syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9 symgfixf.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
109reseq2i 5548 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
129a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 f1ofo 6305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁onto𝑁)
14 foima 6281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁onto𝑁 → (𝐹𝑁) = 𝑁)
1514eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1716ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹𝑁))
18 sneq 4331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = (𝐹𝐾) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
1918eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
2019ad2antll 767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
21 f1ofn 6299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹 Fn 𝑁)
2221ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐾𝑁)
24 fnsnfv 6420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝐾𝑁) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2522, 23, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2620, 25eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
2717, 26difeq12d 3872 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28 dff1o2 6303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
2928simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 → Fun 𝐹)
3029ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → Fun 𝐹)
31 imadif 6134 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3327, 12, 323eqtr4d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
3411, 12, 33f1oeq123d 6294 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
358, 34mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
3635ancoms 468 . . . . . 6 (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
37 symgfixf.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
381, 2, 37, 9symgfixels 18054 . . . . . 6 (𝐹𝑄 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
3936, 38syl5ibr 236 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4039expd 451 . . . 4 (𝐹𝑄 → ((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
413, 40sylbid 230 . . 3 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
4241pm2.43i 52 . 2 (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4342impcom 445 1 ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  ccnv 5265  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  1-1wf1 6046  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  Basecbs 16059  SymGrpcsymg 17997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-symg 17998
This theorem is referenced by:  symgfixf  18056  psgnfix1  20146  psgndif  20150  zrhcopsgndif  20151  smadiadetlem3  20676
  Copyright terms: Public domain W3C validator