MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfo 18496
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
Assertion
Ref Expression
symgfixfo ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo
Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
3 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4 symgfixf.h . . . 4 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
51, 2, 3, 4symgfixf 18493 . . 3 (𝐾𝑁𝐻:𝑄𝑆)
65adantl 482 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄𝑆)
7 eqeq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐾))
8 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑠𝑖) = (𝑠𝑗))
97, 8ifbieq2d 4488 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
109cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
111, 2, 3, 4, 10symgfixfolem1 18495 . . . . . . 7 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
12113expa 1110 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
1413anim1i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
16 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))
173, 16symgextres 18482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁𝑠𝑆) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1918eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20 reseq1 5840 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2120eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2319, 22mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2423ex 413 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2524adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2612, 25rspcimedv 3611 . . . . 5 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2726pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
284fvtresfn 6763 . . . . . . 7 (𝑝𝑄 → (𝐻𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2928eqeq2d 2829 . . . . . 6 (𝑝𝑄 → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3029adantl 482 . . . . 5 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝𝑄) → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3130rexbidva 3293 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3227, 31mpbird 258 . . 3 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
3332ralrimiva 3179 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
34 dffo3 6860 . 2 (𝐻:𝑄onto𝑆 ↔ (𝐻:𝑄𝑆 ∧ ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝)))
356, 33, 34sylanbrc 583 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cdif 3930  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137  cres 5550  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  Basecbs 16471  SymGrpcsymg 18433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-tset 16572  df-symg 18434
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  18497
  Copyright terms: Public domain W3C validator