MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfo 18059
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
Assertion
Ref Expression
symgfixfo ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo
Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
3 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4 symgfixf.h . . . 4 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
51, 2, 3, 4symgfixf 18056 . . 3 (𝐾𝑁𝐻:𝑄𝑆)
65adantl 473 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄𝑆)
7 eqeq1 2764 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐾))
8 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑠𝑖) = (𝑠𝑗))
97, 8ifbieq2d 4255 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
109cbvmptv 4902 . . . . . . . 8 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
111, 2, 3, 4, 10symgfixfolem1 18058 . . . . . . 7 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
12113expa 1112 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
13 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
1413anim1i 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
1514adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
16 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))
173, 16symgextres 18045 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁𝑠𝑆) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1918eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20 reseq1 5545 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2120eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2221adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2319, 22mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2423ex 449 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2524adantl 473 . . . . . 6 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2612, 25rspcimedv 3451 . . . . 5 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2726pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
284fvtresfn 6446 . . . . . . 7 (𝑝𝑄 → (𝐻𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2928eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑝𝑄 → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3029adantl 473 . . . . 5 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝𝑄) → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3130rexbidva 3187 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3227, 31mpbird 247 . . 3 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
3332ralrimiva 3104 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
34 dffo3 6537 . 2 (𝐻:𝑄onto𝑆 ↔ (𝐻:𝑄𝑆 ∧ ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝)))
356, 33, 34sylanbrc 701 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  cmpt 4881  cres 5268  wf 6045  ontowfo 6047  cfv 6049  Basecbs 16059  SymGrpcsymg 17997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-symg 17998
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  18060
  Copyright terms: Public domain W3C validator