MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggen 18090
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
symggen (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem symggen
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3352 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ V)
2 symgtrf.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
32symggrp 18020 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4 grpmnd 17630 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Mnd)
6 symgtrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76submacs 17566 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
8 acsmre 16514 . . . . 5 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
11 symgtrf.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1211, 2, 6symgtrf 18089 . . . . 5 𝑇𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐷𝑉𝑇𝐵)
14 2onn 7889 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
15 nnfi 8318 . . . . . 6 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
17 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
1817, 11pmtrfb 18085 . . . . . . . 8 (𝑥𝑇 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑥:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
1918simp3bi 1142 . . . . . . 7 (𝑥𝑇 → dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
20 enfi 8341 . . . . . . 7 (dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2𝑜 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2𝑜 ∈ Fin))
2221adantl 473 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2𝑜 ∈ Fin))
2316, 22mpbiri 248 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
2413, 23ssrabdv 3822 . . 3 (𝐷𝑉𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
252, 6symgfisg 18088 . . . 4 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgsubm 17817 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
28 symggen.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
2928mrcsscl 16482 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
3010, 24, 27, 29syl3anc 1477 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
31 vex 3343 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
33 finnum 8964 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ dom card)
34 domfi 8346 . . . . . . . 8 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
352, 6symgbasf1o 18003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
37 f1ofn 6299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐷)
38 fnnfpeq0 6608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 Fn 𝐷 → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
402, 6elbasfv 16122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐷 ∈ V)
422symgid 18021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4441, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4528mrccl 16473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
4644, 12, 45sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
47 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4847subm0cl 17553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
5043, 49eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇))
51 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5339, 52sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
55 n0 4074 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
5641adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐷 ∈ V)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
58 f1omvdmvd 18063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
5936, 58sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
6059eldifad 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
61 prssi 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ∧ (𝑦𝑢) ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
6257, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
63 difss 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦
64 dmss 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦 → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦
66 f1odm 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝑦 = 𝐷)
6736, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom 𝑦 = 𝐷)
6865, 67syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
7062, 69sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷)
7136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7271, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 Fn 𝐷)
7368sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢𝐷)
74 fnelnfp 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7572, 73, 74syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7657, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)
7776necomd 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ≠ (𝑦𝑢))
78 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑢 ∈ V
79 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑢) ∈ V
80 pr2nelem 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑢 ∈ V ∧ (𝑦𝑢) ∈ V ∧ 𝑢 ≠ (𝑦𝑢)) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2𝑜)
8178, 79, 80mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ≠ (𝑦𝑢) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2𝑜)
8277, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2𝑜)
8317, 11pmtrrn 18077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2𝑜) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8456, 70, 82, 83syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8512, 84sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵)
86 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦𝐵)
87 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝐺) = (+g𝐺)
882, 6, 87symgov 18010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8985, 86, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
9089oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
9141, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐺 ∈ Grp)
936, 87grpcl 17631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9492, 85, 86, 93syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9589, 94eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵)
962, 6, 87symgov 18010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵 ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
9785, 95, 96syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
98 coass 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
9917, 11pmtrfinv 18081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
10084, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
101100coeq1d 5439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦))
102 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦:𝐷𝐷)
103 fcoi2 6240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10471, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
105101, 104eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10698, 105syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = 𝑦)
10790, 97, 1063eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
108107adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
10946ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11028mrcssid 16479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
11144, 12, 110sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
113112, 84sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
114113adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
11589difeq1d 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
116115dmeqd 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
117 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
118 mvdco 18065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I ))
11917pmtrmvd 18076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2𝑜) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
12056, 70, 82, 119syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
121120, 62eqsstrd 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
122 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
124121, 123unssd 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I )) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
125118, 124syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
126 fvco2 6435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
12772, 73, 126syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
128 prcom 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑢, (𝑦𝑢)} = {(𝑦𝑢), 𝑢}
129128fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})
130129fveq1i 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢))
13169, 60sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐷)
13217pmtrprfv 18073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝑦𝑢) ∈ 𝐷𝑢𝐷 ∧ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
13356, 131, 73, 76, 132syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
134130, 133syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
135127, 134eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢)
1362, 6symgbasf1o 18003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
137 f1ofn 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
13895, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
139 fnelnfp 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) ≠ 𝑢))
140139necon2bbid 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
141138, 73, 140syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
142135, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
143125, 57, 142ssnelpssd 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I ))
144 php3 8311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
145117, 143, 144syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
146116, 145eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
147146adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
14894adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
149 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ V
150 difeq1 3864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
151150dmeqd 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → dom (𝑧 ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
152151breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I )))
153 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧𝐵 ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
154 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐾𝑇) ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))
155153, 154imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
156152, 155imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) ↔ (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))))
157149, 156spcv 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
158157ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
159147, 148, 158mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))
16087submcl 17554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇) ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
161109, 114, 159, 160syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
162108, 161eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
163162ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
164163exlimdv 2010 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16555, 164syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16654, 165pm2.61dne 3018 . . . . . . . . . 10 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
167166exp31 631 . . . . . . . . 9 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑦𝐵 → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
168167com23 86 . . . . . . . 8 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
16934, 168syl 17 . . . . . . 7 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
1701693impia 1110 . . . . . 6 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I ) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
171 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
172 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))
173171, 172imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))))
174 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
175 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
176174, 175imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇))))
177 difeq1 3864 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
178177dmeqd 5481 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
179 difeq1 3864 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑥 ∖ I ))
180179dmeqd 5481 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑥 ∖ I ))
18132, 33, 170, 173, 176, 178, 180indcardi 9054 . . . . 5 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
182181impcom 445 . . . 4 ((𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
1831823adant1 1125 . . 3 ((𝐷𝑉𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
184183rabssdv 3823 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (𝐾𝑇))
18530, 184eqssd 3761 1 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  wpss 3716  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   I cid 5173  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  2𝑜c2o 7723  cen 8118  cdom 8119  csdm 8120  Fincfn 8121  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  SymGrpcsymg 17997  pmTrspcpmtr 18061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-symg 17998  df-pmtr 18062
This theorem is referenced by:  symggen2  18091  psgneldm2  18124
  Copyright terms: Public domain W3C validator