MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtrinv 17832
Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgtrinv ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
21symggrp 17760 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2621 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
4 symgtrinv.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
53, 4invoppggim 17730 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
6 gimghm 17646 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
7 ghmmhm 17610 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
82, 5, 6, 74syl 19 . . 3 (𝐷𝑉𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
9 symgtrinv.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
119, 1, 10symgtrf 17829 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12 sswrd 13268 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
1413sseli 3584 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
1510gsumwmhm 17322 . . 3 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
168, 14, 15syl2an 494 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
1710, 4grpinvf 17406 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
182, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
20 wrdf 13265 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
2120adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
22 fss 6023 . . . . . . 7 ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2321, 11, 22sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
24 fco 6025 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼𝑊):(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2519, 23, 24syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊):(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
26 ffn 6012 . . . . 5 ((𝐼𝑊):(0..^(#‘𝑊))⟶(Base‘𝐺) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(#‘𝑊)))
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(#‘𝑊)))
28 ffn 6012 . . . . 5 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2921, 28syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
30 fvco2 6240 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
3129, 30sylan 488 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
3221ffvelrnda 6325 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
3311, 32sseldi 3586 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
341, 10, 4symginv 17762 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
36 eqid 2621 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
3736, 9pmtrfcnv 17824 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇(𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3832, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3931, 35, 383eqtrd 2659 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
4027, 29, 39eqfnfvd 6280 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) = 𝑊)
4140oveq2d 6631 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg 𝑊))
42 grpmnd 17369 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
432, 42syl 17 . . 3 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4410, 3gsumwrev 17736 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4543, 14, 44syl2an 494 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4616, 41, 453eqtrd 2659 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  ccnv 5083  ran crn 5085  ccom 5088   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246  reversecreverse 13252  Basecbs 15800   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234   MndHom cmhm 17273  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363   GrpHom cghm 17597   GrpIso cgim 17639  oppgcoppg 17715  SymGrpcsymg 17737  pmTrspcpmtr 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-reverse 13260  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-tset 15900  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802
This theorem is referenced by:  psgnuni  17859
  Copyright terms: Public domain W3C validator