MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 24580
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 24542 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2 2efiatan 24579 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
32oveq1d 6630 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4 2mulicn 11215 . . . . . . . 8 (2 · i) ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6 atandm 24537 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
76simp1bi 1074 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8 ax-icn 9955 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
9 addcl 9978 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
107, 8, 9sylancl 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11 subneg 10290 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1075 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
148negcli 10309 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
15 subeq0 10267 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
177, 14, 16sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
1813, 17mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
1912, 18eqnetrrd 2858 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
205, 10, 19divcld 10761 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 9954 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 npcan 10250 . . . . . 6 ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 11216 . . . . . 6 (2 · i) ≠ 0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
275, 10, 26, 19divne0d 10777 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
2824, 27eqnetrd 2857 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29 tanval3 14808 . . 3 (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 692 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
312oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
3320, 32, 32subsub4d 10383 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34 df-2 11039 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 6626 . . . . . . 7 (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
3633, 35syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
3731, 36eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38 2cn 11051 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
39 mulcl 9980 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
4038, 10, 39sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
415, 40, 10, 19divsubdird 10800 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 10428 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44 negsub 10289 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
458, 7, 44sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
4645oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
477negcld 10339 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48 pncan2 10248 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5150, 7, 50subsub4d 10383 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2664 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 6631 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5554, 50, 10subdid 10446 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2662 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
5756oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 10767 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2663 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6137, 60eqtr4d 2658 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 6631 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 10191 . . . . . . . 8 (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64 ixi 10616 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
6564oveq2i 6626 . . . . . . . 8 (2 · (i · i)) = (2 · -1)
6621negcli 10309 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
6738mulm1i 10435 . . . . . . . . 9 (-1 · 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 10007 . . . . . . . 8 (2 · -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2647 . . . . . . 7 (i · (2 · i)) = -2
7069oveq1i 6625 . . . . . 6 ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 10796 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7270, 71syl5eqr 2669 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2658 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 6633 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 10309 . . . . . 6 -2 ∈ ℂ
76 mulcl 9980 . . . . . 6 ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7775, 7, 76sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79 2ne0 11073 . . . . . . 7 2 ≠ 0
8038, 79negne0i 10316 . . . . . 6 -2 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 10789 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 10766 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2655 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2655 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2655 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  dom cdm 5084  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  expce 14736  tanctan 14740  arctancatan 24525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-tan 14746  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-atan 24528
This theorem is referenced by:  atantanb  24585  atanord  24588
  Copyright terms: Public domain W3C validator