MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 25424
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 25386 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2 2efiatan 25423 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
32oveq1d 7160 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4 2mulicn 11848 . . . . . . . 8 (2 · i) ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6 atandm 25381 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
76simp1bi 1137 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8 ax-icn 10584 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
9 addcl 10607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
107, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11 subneg 10923 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1138 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
148negcli 10942 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
15 subeq0 10900 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 3057 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
177, 14, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
1813, 17mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
1912, 18eqnetrrd 3081 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
205, 10, 19divcld 11404 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 npcan 10883 . . . . . 6 ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2853 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 11849 . . . . . 6 (2 · i) ≠ 0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
275, 10, 26, 19divne0d 11420 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
2824, 27eqnetrd 3080 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29 tanval3 15475 . . 3 (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
312oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
3320, 32, 32subsub4d 11016 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34 df-2 11688 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 7156 . . . . . . 7 (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
3633, 35syl6eqr 2871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
3731, 36eqtrd 2853 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
39 mulcl 10609 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
4038, 10, 39sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
415, 40, 10, 19divsubdird 11443 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 11066 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44 negsub 10922 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
458, 7, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
4645oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
477negcld 10972 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48 pncan2 10881 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5150, 7, 50subsub4d 11016 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2862 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5554, 50, 10subdid 11084 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2860 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
5756oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 11410 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6137, 60eqtr4d 2856 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 7161 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 10823 . . . . . . . 8 (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64 ixi 11257 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
6564oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (2 · (i · i)) = (2 · -1)
6621negcli 10942 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
6738mulm1i 11073 . . . . . . . . 9 (-1 · 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2845 . . . . . . 7 (i · (2 · i)) = -2
7069oveq1i 7155 . . . . . 6 ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 11439 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7270, 71syl5eqr 2867 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2856 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 7163 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 10942 . . . . . 6 -2 ∈ ℂ
76 mulcl 10609 . . . . . 6 ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7775, 7, 76sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79 2ne0 11729 . . . . . . 7 2 ≠ 0
8038, 79negne0i 10949 . . . . . 6 -2 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 11432 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 11409 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2853 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2853 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2853 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  expce 15403  tanctan 15407  arctancatan 25369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-atan 25372
This theorem is referenced by:  atantanb  25429  atanord  25432
  Copyright terms: Public domain W3C validator