MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylf 24014
Description: The Taylor series defines a function on a subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylf (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylfval.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylfval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylfval.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
5 taylfval.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
6 taylfval.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 24012 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
8 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98snssd 4314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
101, 2, 3, 4, 5taylfvallem 24011 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
11 xpss12 5191 . . . . . . . . 9 (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
1312ralrimiva 2965 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
14 iunss 4532 . . . . . . 7 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
167, 15eqsstrd 3623 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ))
17 relxp 5193 . . . . 5 Rel (ℂ × ℂ)
18 relss 5172 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ) → (Rel (ℂ × ℂ) → Rel 𝑇))
1916, 17, 18mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel 𝑇)
201, 2, 3, 4, 5, 6eltayl 24013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
2120biimpd 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
2221alrimiv 1857 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦(𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))))
23 cnfldbas 19664 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
24 cnring 19682 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
25 ringcmn 18497 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ CMnd)
27 cnfldtps 22486 . . . . . . . . . 10 fld ∈ TopSp
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ TopSp)
29 ovex 6633 . . . . . . . . . . 11 (0[,]𝑁) ∈ V
3029inex1 4764 . . . . . . . . . 10 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
321, 2, 3, 4, 5taylfvallem1 24010 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
33 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3432, 33fmptd 6341 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
35 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3635cnfldhaus 22493 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
3823, 26, 28, 31, 34, 35, 37haustsms 21844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
3938ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
40 moanimv 2535 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
4139, 40sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
42 moim 2523 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑥𝑇𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))) → (∃*𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) → ∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦))
4322, 41, 42sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦)
4443alrimiv 1857 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦)
45 dffun6 5865 . . . 4 (Fun 𝑇 ↔ (Rel 𝑇 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑇𝑦))
4619, 44, 45sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑇)
47 funfn 5879 . . 3 (Fun 𝑇𝑇 Fn dom 𝑇)
4846, 47sylib 208 . 2 (𝜑𝑇 Fn dom 𝑇)
49 rnss 5318 . . . 4 (𝑇 ⊆ (ℂ × ℂ) → ran 𝑇 ⊆ ran (ℂ × ℂ))
5016, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ran (ℂ × ℂ))
51 rnxpss 5529 . . 3 ran (ℂ × ℂ) ⊆ ℂ
5250, 51syl6ss 3600 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℂ)
53 df-f 5854 . 2 (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ ↔ (𝑇 Fn dom 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℂ))
5448, 52, 53sylanbrc 697 1 (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1992  ∃*wmo 2475  wral 2912  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  {csn 4153  {cpr 4155   ciun 4490   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  Rel wrel 5084  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  cmin 10211   / cdiv 10629  0cn0 11237  cz 11322  [,]cicc 12117  cexp 12797  !cfa 12997  TopOpenctopn 15998  CMndccmn 18109  Ringcrg 18463  fldccnfld 19660  TopSpctps 20614  Hauscha 21017   tsums ctsu 21834   D𝑛 cdvn 23529   Tayl ctayl 24006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-tsms 21835  df-xms 22030  df-ms 22031  df-limc 23531  df-dv 23532  df-dvn 23533  df-tayl 24008
This theorem is referenced by:  tayl0  24015
  Copyright terms: Public domain W3C validator