MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylplem1 23835
Description: Lemma for taylpfval 23837 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
taylplem1 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylplem1
StepHypRef Expression
1 0z 11218 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 taylpfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11309 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 fzval2 12152 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
51, 3, 4sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65eleq2d 2669 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)))
76biimpar 500 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 cnex 9870 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 taylpfval.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 taylpfval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
13 elpm2r 7735 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1410, 8, 11, 12, 13syl22anc 1318 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
158, 14jca 552 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
16 dvn2bss 23413 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
17163expa 1256 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
1815, 17sylan 486 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
19 taylpfval.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2019adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2118, 20sseldd 3565 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
227, 21syldan 485 1 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cin 3535  wss 3536  {cpr 4123  dom cdm 5025  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  0cn0 11136  cz 11207  [,]cicc 12002  ...cfz 12149   D𝑛 cdvn 23348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-icc 12006  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-rest 15849  df-topn 15850  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-limc 23350  df-dv 23351  df-dvn 23352
This theorem is referenced by:  taylplem2  23836  taylpfval  23837  dvtaylp  23842  dvntaylp0  23844
  Copyright terms: Public domain W3C validator