MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 23871
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 23872 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2 (𝜑𝐵𝐷)
taylply2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 23868 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
8 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 cnex 9874 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 elpm2r 7739 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 23442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15 fdm 5950 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
162, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1714, 16sseqtrd 3603 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
18 recnprss 23419 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
203, 19sstrd 3577 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2117, 20sstrd 3577 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2221, 5sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
248, 23subcld 10244 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
25 df-idp 23694 . . . . . . . 8 Xp = ( I ↾ ℂ)
26 mptresid 5362 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
2725, 26eqtr4i 2634 . . . . . . 7 Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
29 fconstmpt 5075 . . . . . . 7 (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
3110, 8, 23, 28, 30offval2 6790 . . . . 5 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵)))
32 eqidd 2610 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
33 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
3433oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3534sumeq2sdv 14231 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3624, 31, 32, 35fmptco 6288 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
377, 36eqtr4d 2646 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))))
38 taylply2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
39 cnfldbas 19520 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
4039subrgss 18553 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4138, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
42 taylply2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
4341, 4, 42elplyd 23707 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
44 cnfld1 19539 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4544subrg1cl 18560 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
4638, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
47 plyid 23714 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
4841, 46, 47syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑Xp ∈ (Poly‘𝐷))
49 taylply2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
50 plyconst 23711 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
5141, 49, 50syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
52 subrgsubg 18558 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5338, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
54 cnfldadd 19521 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
5554subgcl 17376 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56553expb 1257 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5753, 56sylan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
58 cnfldmul 19522 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
5958subrgmcl 18564 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
60593expb 1257 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
6138, 60sylan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
62 ax-1cn 9851 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
63 cnfldneg 19540 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . 6 ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
65 eqid 2609 . . . . . . . 8 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
6665subginvcl 17375 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6753, 46, 66syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6864, 67syl5eqelr 2692 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
6948, 51, 57, 61, 68plysub 23724 . . . 4 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
7043, 69, 57, 61plyco 23746 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
7137, 70eqeltrd 2687 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
7237fveq2d 6092 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))))
73 eqid 2609 . . . . 5 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
74 eqid 2609 . . . . 5 (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))
7573, 74, 43, 69dgrco 23780 . . . 4 (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))))
76 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))
7776plyremlem 23808 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7822, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7978simp2d 1066 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
8079oveq2d 6543 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1))
81 dgrcl 23738 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8243, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8382nn0cnd 11203 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℂ)
8483mulid1d 9914 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8580, 84eqtrd 2643 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8672, 75, 853eqtrd 2647 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
871adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8812adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
89 elfznn0 12260 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9089adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
91 dvnf 23441 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
9287, 88, 90, 91syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
93 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
94 dvn2bss 23444 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9587, 88, 93, 94syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
965adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
9795, 96sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9892, 97ffvelrnd 6253 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
99 faccl 12890 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
10090, 99syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
101100nncnd 10886 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
102100nnne0d 10915 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
10398, 101, 102divcld 10653 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10443, 4, 103, 32dgrle 23748 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ≤ 𝑁)
10586, 104eqbrtrd 4599 . 2 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
10671, 105jca 552 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637   I cid 4938   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  cres 5030  cima 5031  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  pm cpm 7723  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cle 9932  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  cn 10870  0cn0 11142  ...cfz 12155  cexp 12680  !cfa 12880  Σcsu 14213  invgcminusg 17195  SubGrpcsubg 17360  SubRingcsubrg 18548  fldccnfld 19516   D𝑛 cdvn 23379  Polycply 23689  Xpcidp 23690  degcdgr 23692   Tayl ctayl 23856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-subrg 18550  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-tsms 21688  df-xms 21883  df-ms 21884  df-0p 23188  df-limc 23381  df-dv 23382  df-dvn 23383  df-ply 23693  df-idp 23694  df-coe 23695  df-dgr 23696  df-tayl 23858
This theorem is referenced by:  taylply  23872  taylthlem2  23877
  Copyright terms: Public domain W3C validator