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Theorem tbwlem4 1631
Description: Used to rederive the Lukasiewicz axioms from Tarski-Bernays-Wajsberg'. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tbwlem4 (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))

Proof of Theorem tbwlem4
StepHypRef Expression
1 tbw-ax4 1626 . . . . 5 (⊥ → ⊥)
2 tbw-ax1 1623 . . . . . 6 ((𝜓 → ⊥) → ((⊥ → ⊥) → (𝜓 → ⊥)))
3 tbwlem1 1628 . . . . . 6 (((𝜓 → ⊥) → ((⊥ → ⊥) → (𝜓 → ⊥))) → ((⊥ → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥))))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ((⊥ → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥)))
51, 4ax-mp 5 . . . 4 ((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥))
6 tbwlem1 1628 . . . 4 (((𝜓 → ⊥) → (𝜓 → ⊥)) → (𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))
8 tbw-ax1 1623 . . . 4 (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))))
9 tbwlem1 1628 . . . 4 ((((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))) → ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝜓 → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥))))
117, 10ax-mp 5 . 2 (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)))
12 tbwlem2 1629 . . 3 (((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑)))
13 tbwlem3 1630 . . 3 (((((𝜑 → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑)) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))
1412, 13tbwsyl 1627 . 2 (((𝜑 → ⊥) → ((𝜓 → ⊥) → ⊥)) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))
1511, 14tbwsyl 1627 1 (((𝜑 → ⊥) → 𝜓) → ((𝜓 → ⊥) → 𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-tru 1484  df-fal 1487
This theorem is referenced by:  tbwlem5  1632  re1luk2  1634
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