MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchcph 22789
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of into a complex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tchcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tchcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tchcph.h , = (·𝑖𝑊)
tchcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tchcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
Assertion
Ref Expression
tchcph (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tchcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 tchval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
32tchphl 22779 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 206 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ PreHil)
5 tchcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tchcph.h . . . . . . 7 , = (·𝑖𝑊)
72, 5, 6tchval 22770 . . . . . 6 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
8 eqid 2609 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
9 eqid 2609 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 phllmod 19742 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lmodgrp 18642 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 tchcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 tchcph.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tchcphlem3 22785 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
17 tchcph.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1816, 17resqrtcld 13953 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ ℝ)
19 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2018, 19fmptd 6277 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶ℝ)
21 oveq12 6536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2221anidms 674 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2322fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
24 fvex 6098 . . . . . . . . . 10 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ V
2523, 19, 24fvmpt3i 6181 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
29 phllvec 19741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3114lvecdrng 18875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 22730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
3433simp2d 1066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ))
35 inss2 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ ℂ) ⊆ ℂ
3634, 35syl6eqss 3617 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3814, 6, 5, 28ipcl 19745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
39383anidm23 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
401, 39sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
4137, 40sseldd 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ ℂ)
4241sqrtcld 13973 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ)
43 sqeq0 12747 . . . . . . . . 9 ((√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 13975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15tchclm 22784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
4714clm0 22628 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
4948adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 0 = (0g𝐹))
5045, 49eqeq12d 2624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
5144, 50bitr3d 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
52 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 19750 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
541, 53sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
5527, 51, 543bitrd 292 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
561adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
5733simp1d 1065 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
5857adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
59 3anass 1034 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
60 tchcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261recnd 9925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6362sqrtcld 13973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
6460, 63jca 552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
6564ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
6634eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
67 recn 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
68 elin 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℂ))
6968rbaib 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7166, 70sylan9bb 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7271adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7372ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾)))
7473pm5.32rd 669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))))
75 3anass 1034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7674, 75syl6bbr 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7734eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ (√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
78 elin 3757 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
7977, 78syl6bb 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
8065, 76, 793imtr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8159, 80syl5bi 230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8281imp 443 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8382adantlr 746 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8417adantlr 746 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
85 simprl 789 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
86 simprr 791 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tchcphlem1 22787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))) ≤ ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 17267 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1257 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 6536 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9291anidms 674 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9392fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9493, 19, 24fvmpt3i 6181 . . . . . . . 8 ((𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
96 oveq12 6536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 674 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
9998, 19, 24fvmpt3i 6181 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 6546 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑧𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 4609 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) ≤ (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)))
1037, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102tngngpd 22215 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 19742 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil → 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 22342 . . . . . . 7 fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1067 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
108 eqid 2609 . . . . . . . 8 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
109108subrgnrg 22235 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2687 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1234 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
11457adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
11582adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
11617adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
117 eqid 2609 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
118 simprl 789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
119 simprr 791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tchcphlem2 22788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
12113adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
1225, 14, 117, 28lmodvscl 18652 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
1231223expb 1257 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
12411, 123sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
125 eqid 2609 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
1262, 125, 5, 6tchnmval 22781 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
127121, 124, 126syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
128114fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
129128fveq1d 6090 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦))
130 subrgsubg 18558 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
131107, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
132131adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
133 cnfldnm 22340 . . . . . . . . . 10 abs = (norm‘ℂfld)
134 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))
135108, 133, 134subgnm2 22196 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
136132, 118, 135syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
137129, 136eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
1382, 125, 5, 6tchnmval 22781 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
139121, 119, 138syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
140137, 139oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
141120, 127, 1403eqtr4d 2653 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
142141ralrimivva 2953 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
1432, 5tchbas 22771 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
1442, 117tchvsca 22776 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1452, 14tchsca 22775 . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
146 eqid 2609 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
147143, 125, 144, 145, 28, 146isnlm 22237 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧))))
148112, 142, 147sylanbrc 694 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ NrmMod)
1494, 148, 573jca 1234 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))))
150 elin 3757 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
151 elrege0 12108 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
152151anbi2i 725 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
153150, 152bitri 262 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
154153, 80syl5bi 230 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
155154ralrimiv 2947 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
156 sqrtf 13900 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
157 ffun 5947 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
158156, 157ax-mp 5 . . . 4 Fun √
159 inss1 3794 . . . . . 6 ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘𝐹)
160159, 36syl5ss 3578 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ)
161156fdmi 5951 . . . . 5 dom √ = ℂ
162160, 161syl6sseqr 3614 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √)
163 funimass4 6142 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √) → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
164158, 162, 163sylancr 693 . . 3 (𝜑 → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
165155, 164mpbird 245 . 2 (𝜑 → (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹))
166 eqid 2609 . . . . 5 (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦)))
16742, 166fmptd 6277 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ)
1682, 5, 6tchval 22770 . . . . 5 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
169 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
170168, 5, 169tngnm 22213 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ) → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
17113, 167, 170syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
172171eqcomd 2615 . 2 (𝜑 → (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
1732, 6tchip 22777 . . 3 , = (·𝑖𝐺)
174143, 173, 125, 145, 28iscph 22723 . 2 (𝐺 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))) ∧ (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ∧ (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦)))))
175149, 165, 172, 174syl3anbrc 1238 1 (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cima 5031  Fun wfun 5784  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   + caddc 9796   · cmul 9798  +∞cpnf 9928  cle 9932  2c2 10920  [,)cico 12007  cexp 12680  csqrt 13770  abscabs 13771  Basecbs 15644  s cress 15645  Scalarcsca 15720   ·𝑠 cvsca 15721  ·𝑖cip 15722  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194  -gcsg 17196  SubGrpcsubg 17360  DivRingcdr 18519  SubRingcsubrg 18548  LModclmod 18635  LVecclvec 18872  fldccnfld 19516  PreHilcphl 19736  normcnm 22139  NrmGrpcngp 22140  NrmRingcnrg 22142  NrmModcnlm 22143  ℂModcclm 22618  ℂPreHilccph 22719  toℂHilctch 22720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-fz 12156  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-topgen 15876  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-abv 18589  df-staf 18617  df-srng 18618  df-lmod 18637  df-lmhm 18792  df-lvec 18873  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-phl 19738  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-xms 21883  df-ms 21884  df-nm 22145  df-ngp 22146  df-tng 22147  df-nrg 22148  df-nlm 22149  df-clm 22619  df-cph 22721  df-tch 22722
This theorem is referenced by:  rrxcph  22933
  Copyright terms: Public domain W3C validator