MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchcphlem1 23080
Description: Lemma for tchcph 23082: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tchcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tchcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tchcph.h , = (·𝑖𝑊)
tchcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tchcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tchcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tchcph.m = (-g𝑊)
tchcphlem1.3 (𝜑𝑋𝑉)
tchcphlem1.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tchcphlem1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tchcphlem1
StepHypRef Expression
1 tchcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 20023 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3 lmodgrp 18918 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5 tchcphlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
6 tchcphlem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
7 tchcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 tchcph.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
97, 8grpsubcl 17542 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
104, 5, 6, 9syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
11 tchval.n . . . . . 6 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
12 tchcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 tchcph.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
14 tchcph.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
1511, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 23078 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1610, 15mpdan 703 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℝ)
1711, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 23078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
185, 17mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
1911, 7, 12, 1, 13, 14tchcphlem3 23078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
206, 19mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 10107 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
2211, 7, 12, 1, 13tchclm 23077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
23 tchcph.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
2412, 23clmsscn 22925 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
2612, 14, 7, 23ipcl 20026 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
271, 5, 6, 26syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
2825, 27sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
2912, 14, 7, 23ipcl 20026 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
301, 6, 5, 29syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
3125, 30sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
3228, 31addcld 10097 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
3332abscld 14219 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ∈ ℝ)
3421, 33readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ∈ ℝ)
3518recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
36 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
37 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
3837ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
39 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
4039anidms 678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
4140breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
4241rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
435, 38, 42sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
4418, 43resqrtcld 14200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
45 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4645anidms 678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
4746breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
4847rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
496, 38, 48sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
5020, 49resqrtcld 14200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
5144, 50remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
52 remulcl 10059 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5336, 51, 52sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℝ)
5453recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))) ∈ ℂ)
5520recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
5635, 54, 55add32d 10301 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
5721, 53readdcld 10107 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) ∈ ℝ)
5856, 57eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
59 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑋 𝑌) ∧ 𝑥 = (𝑋 𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6059anidms 678 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6160breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
6261rspcv 3336 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
6310, 38, 62sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6416, 63absidd 14205 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
6512clmadd 22920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g𝐹))
6622, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → + = (+g𝐹))
6766oveqd 6707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
6866oveqd 6707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
6967, 68oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
7012, 14, 7, 23ipcl 20026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
711, 5, 5, 70syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
7212, 14, 7, 23ipcl 20026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
731, 6, 6, 72syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
7412, 23clmacl 22930 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7522, 71, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
7612, 23clmacl 22930 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7722, 27, 30, 76syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
7812, 23clmsub 22926 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
7922, 75, 77, 78syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
80 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (-g𝐹) = (-g𝐹)
81 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝐹) = (+g𝐹)
8212, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6ip2subdi 20037 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑌))(-g𝐹)((𝑋 , 𝑌)(+g𝐹)(𝑌 , 𝑋))))
8369, 79, 823eqtr4rd 2696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))))
8483fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8564, 84eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) = (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8625, 75sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
8786, 32abs2dif2d 14241 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) − ((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8885, 87eqbrtrd 4707 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
8918, 20, 43, 49addge0d 10641 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
9021, 89absidd 14205 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)))
9190oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌))) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
9288, 91breqtrd 4711 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))))
9328abscld 14219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
94 remulcl 10059 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9536, 93, 94sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
9628, 31abstrid 14239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
9793recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
98972timesd 11313 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
9928abscjd 14233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
10012clmcj 22922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
10122, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
102101fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)))
103 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
10412, 14, 7, 103ipcj 20027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
1051, 5, 6, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
106102, 105eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
107106fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
10899, 107eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) = (abs‘(𝑌 , 𝑋)))
109108oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
11098, 109eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) = ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) + (abs‘(𝑌 , 𝑋))))
11196, 110breqtrrd 4713 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))))
112 tchcph.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
113 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
114 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
11511, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6ipcau2 23079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)))
11611, 113, 7, 14tchnmval 23074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
1174, 5, 116syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
11811, 113, 7, 14tchnmval 23074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
1194, 6, 118syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘𝐺)‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
120117, 119oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((norm‘𝐺)‘𝑋) · ((norm‘𝐺)‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
121115, 120breqtrd 4711 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
12236a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
123 2pos 11150 . . . . . . . . . 10 0 < 2
124123a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
125 lemul2 10914 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
12693, 51, 122, 124, 125syl112anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
127121, 126mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (abs‘(𝑋 , 𝑌))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12833, 95, 53, 111, 127letrd 10232 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋))) ≤ (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))))
12933, 53, 21, 128leadd2dd 10680 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
130129, 56breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 , 𝑋) + (𝑌 , 𝑌)) + (abs‘((𝑋 , 𝑌) + (𝑌 , 𝑋)))) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
13116, 34, 58, 92, 130letrd 10232 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ≤ (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
13216recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)) ∈ ℂ)
133132sqsqrtd 14222 . . 3 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) = ((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))
13435sqrtcld 14220 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
13550recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
136 binom2 13019 . . . . 5 (((√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ) → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
137134, 135, 136syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
13835sqsqrtd 14222 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
139138oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) = ((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))))
14055sqsqrtd 14222 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
141139, 140oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
142137, 141eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((𝑋 , 𝑋) + (2 · ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))) + (𝑌 , 𝑌)))
143131, 133, 1423brtr4d 4717 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
14416, 63resqrtcld 14200 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ∈ ℝ)
14544, 50readdcld 10107 . . 3 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
14616, 63sqrtge0d 14203 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))))
14718, 43sqrtge0d 14203 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
14820, 49sqrtge0d 14203 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
14944, 50, 147, 148addge0d 10641 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
150144, 145, 146, 149le2sqd 13084 . 2 (𝜑 → ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌)))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
151143, 150mpbird 247 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 𝑌) , (𝑋 𝑌))) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) + (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  cexp 12900  ccj 13880  csqrt 14017  abscabs 14018  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  *𝑟cstv 15990  Scalarcsca 15991  ·𝑖cip 15993  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  LModclmod 18911  fldccnfld 19794  PreHilcphl 20017  normcnm 22428  ℂModcclm 22908  toℂHilctch 23013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-nm 22434  df-tng 22436  df-clm 22909  df-tch 23015
This theorem is referenced by:  tchcph  23082
  Copyright terms: Public domain W3C validator