MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchcphlem2 22943
Description: Lemma for tchcph 22944: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tchcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tchcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tchcph.h , = (·𝑖𝑊)
tchcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tchcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tchcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tchcph.s · = ( ·𝑠𝑊)
tchcphlem2.3 (𝜑𝑋𝐾)
tchcphlem2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
2 tchcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 tchcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 tchcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 tchcph.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5tchclm 22939 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
7 tchcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 7clmsscn 22787 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
10 tchcphlem2.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3584 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211cjmulrcld 13880 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 13882 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · (∗‘𝑋)))
14 tchcphlem2.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
15 tchcph.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 22940 . . . 4 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 701 . . 3 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
18 tchcph.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1918ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
20 oveq12 6613 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2120anidms 676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2221breq2d 4625 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2322rspcv 3291 . . . 4 (𝑌𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2414, 19, 23sylc 65 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
2512, 13, 17, 24sqrtmuld 14097 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
26 phllmod 19894 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
274, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
28 tchcph.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
292, 3, 28, 7lmodvscl 18801 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3027, 10, 14, 29syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
32 eqid 2621 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 19910 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑋𝐾)) → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
353clmmul 22783 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
366, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → · = (.r𝐹))
3736oveqd 6621 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 19909 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
4037, 39eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌))
413clmcj 22784 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
426, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
4342fveq1d 6150 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) = ((*𝑟𝐹)‘𝑋))
4436, 40, 43oveq123d 6625 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
4517recnd 10012 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
4611cjcld 13870 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
4711, 45, 46mul32d 10190 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4834, 44, 473eqtr2d 2661 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4948fveq2d 6152 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))))
50 absval 13912 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5111, 50syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5251oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
5325, 49, 523eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  cle 10019  ccj 13770  csqrt 13907  abscabs 13908  Basecbs 15781  s cress 15782  .rcmulr 15863  *𝑟cstv 15864  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  ·𝑖cip 15867  LModclmod 18784  fldccnfld 19665  PreHilcphl 19888  ℂModcclm 22770  toℂHilctch 22875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-phl 19890  df-clm 22771
This theorem is referenced by:  tchcph  22944
  Copyright terms: Public domain W3C validator