MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchcphlem2 23156
Description: Lemma for tchcph 23157: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tchcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tchcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tchcph.h , = (·𝑖𝑊)
tchcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tchcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tchcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tchcph.s · = ( ·𝑠𝑊)
tchcphlem2.3 (𝜑𝑋𝐾)
tchcphlem2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
2 tchcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 tchcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 tchcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 tchcph.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5tchclm 23152 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
7 tchcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 7clmsscn 23000 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
10 tchcphlem2.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3710 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211cjmulrcld 14066 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 14068 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · (∗‘𝑋)))
14 tchcphlem2.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
15 tchcph.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 23153 . . . 4 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 705 . . 3 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
18 tchcph.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1918ralrimiva 3068 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
20 oveq12 6774 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2120anidms 680 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2221breq2d 4772 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2322rspcv 3409 . . . 4 (𝑌𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2414, 19, 23sylc 65 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
2512, 13, 17, 24sqrtmuld 14283 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
26 phllmod 20098 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
274, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
28 tchcph.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
292, 3, 28, 7lmodvscl 19003 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3027, 10, 14, 29syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31 eqid 2724 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
32 eqid 2724 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 20114 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑋𝐾)) → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1441 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
353clmmul 22996 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
366, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → · = (.r𝐹))
3736oveqd 6782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 20113 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1441 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
4037, 39eqtr4d 2761 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌))
413clmcj 22997 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
426, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
4342fveq1d 6306 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) = ((*𝑟𝐹)‘𝑋))
4436, 40, 43oveq123d 6786 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
4517recnd 10181 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
4611cjcld 14056 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
4711, 45, 46mul32d 10359 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4834, 44, 473eqtr2d 2764 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4948fveq2d 6308 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))))
50 absval 14098 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5111, 50syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5251oveq1d 6780 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
5325, 49, 523eqtr4d 2768 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wss 3680   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054  cle 10188  ccj 13956  csqrt 14093  abscabs 14094  Basecbs 15980  s cress 15981  .rcmulr 16065  *𝑟cstv 16066  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  ·𝑖cip 16069  LModclmod 18986  fldccnfld 19869  PreHilcphl 20092  ℂModcclm 22983  toℂHilctch 23088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-grp 17547  df-subg 17713  df-ghm 17780  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-rnghom 18838  df-drng 18872  df-subrg 18901  df-staf 18968  df-srng 18969  df-lmod 18988  df-lmhm 19145  df-lvec 19226  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-cnfld 19870  df-phl 20094  df-clm 22984
This theorem is referenced by:  tchcph  23157
  Copyright terms: Public domain W3C validator