MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcid 8612
Description: Defining property of the transitive closure function: it contains its argument as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcid (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))

Proof of Theorem tcid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssmin 4494 . 2 𝐴 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
2 tcvalg 8611 . 2 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
31, 2syl5sseqr 3652 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  {cab 2607  wss 3572   cint 4473  Tr wtr 4750  cfv 5886  TCctc 8609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-tc 8610
This theorem is referenced by:  tc2  8615  tcidm  8619  tc00  8621  tcrank  8744  itunitc1  9239  hsmexlem4  9248
  Copyright terms: Public domain W3C validator