Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem2 23742
 Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tdeglem2 ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ))

Proof of Theorem tdeglem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7831 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → :{∅}⟶ℕ0)
21feqmptd 6211 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥)))
32oveq2d 6626 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))))
4 cnring 19700 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
5 ringmnd 18488 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64, 5mp1i 13 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7 0ex 4755 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → ∅ ∈ V)
97snid 4184 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
10 ffvelrn 6318 . . . . . . . 8 ((:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
111, 9, 10sylancl 693 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11305 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → (‘∅) ∈ ℂ)
13 cnfldbas 19682 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥) = (‘∅))
1513, 14gsumsn 18286 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
166, 8, 12, 15syl3anc 1323 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
173, 16eqtrd 2655 . . . 4 ( ∈ (ℕ0𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
18 df1o2 7524 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
1918oveq2i 6621 . . . 4 (ℕ0𝑚 1𝑜) = (ℕ0𝑚 {∅})
2017, 19eleq2s 2716 . . 3 ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
2120eqcomd 2627 . 2 ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (‘∅) = (ℂfld Σg ))
2221mpteq2ia 4705 1 ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189  ∅c0 3896  {csn 4153   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1𝑜c1o 7505   ↑𝑚 cmap 7809  ℂcc 9886  ℕ0cn0 11244   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  Ringcrg 18479  ℂfldccnfld 19678 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ring 18481  df-cring 18482  df-cnfld 19679 This theorem is referenced by:  deg1ldg  23773  deg1leb  23776  deg1val  23777
 Copyright terms: Public domain W3C validator