MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 24580
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20477 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 20497 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 20478 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 20495 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 19260 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simp1 1128 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 20073 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 11890 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
11 fss 6520 . . . . 5 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 586 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13123adant3 1124 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
148psrbagf 20073 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
15 fss 6520 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1614, 10, 15sylancl 586 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
17163adant2 1123 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
188psrbagfsupp 20217 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 459 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1124 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsupp 20217 . . . . 5 ((𝑌𝐴𝐼𝑉) → 𝑌 finSupp 0)
2221ancoms 459 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
23223adant2 1123 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 18972 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 20078 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7153 . . . 4 ( = (𝑋f + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 7178 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6761 . . 3 ((𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
31 oveq2 7153 . . . . 5 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 7178 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6761 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 7153 . . . . 5 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 7178 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6761 . . . 4 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 7164 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38373adant1 1122 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3924, 30, 383eqtr4d 2863 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cn 11626  0cn0 11885   Σg cgsu 16702  CMndccmn 18835  Ringcrg 19226  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  mdegmullem  24599
  Copyright terms: Public domain W3C validator