MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3 23723
Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19669 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 19689 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 19670 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 19687 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 18502 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simp1 1059 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 19284 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 11241 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
11 fss 6013 . . . . 5 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 693 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13123adant3 1079 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
148psrbagf 19284 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
15 fss 6013 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1614, 10, 15sylancl 693 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
17163adant2 1078 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
188psrbagfsupp 19428 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 469 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1079 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsupp 19428 . . . . 5 ((𝑌𝐴𝐼𝑉) → 𝑌 finSupp 0)
2221ancoms 469 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
23223adant2 1078 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 18244 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddcl 19289 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 6612 . . . 4 ( = (𝑋𝑓 + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 6632 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6239 . . 3 ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋𝑓 + 𝑌)))
31 oveq2 6612 . . . . 5 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 6632 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6239 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 6612 . . . . 5 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 6632 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6239 . . . 4 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 6623 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38373adant1 1077 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3924, 30, 383eqtr4d 2665 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883  cn 10964  0cn0 11236   Σg cgsu 16022  CMndccmn 18114  Ringcrg 18468  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-cnfld 19666
This theorem is referenced by:  mdegmullem  23742
  Copyright terms: Public domain W3C validator