MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4 23724
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 2989 . . . . 5 (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
2 df-ne 2791 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
3 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
5 ovex 6632 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
76ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 19284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
109feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1211oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))))
13 cnfldbas 19669 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfld0 19689 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
15 cnfldadd 19670 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℂfld)
16 cnring 19687 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ Ring
17 ringcmn 18502 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼𝑉)
209adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
2120ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
238psrbagfsupp 19428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
27 incom 3783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28 disjdif 4012 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
2927, 28eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31 difsnid 4310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
3231eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3332ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 18250 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
357, 12, 343eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
36 difexg 4768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38 nn0subm 19720 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦𝐼)
41 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4220, 40, 41syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4442, 43fmptd 6340 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
45 mptexg 6438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
48 funmpt 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
50 funmpt 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
52 difss 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
53 resmpt 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
55 resss 5381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5654, 55eqsstr3i 3615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
58 mptexg 6438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
5958ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
60 funsssuppss 7266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
6151, 57, 59, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
62 fsuppsssupp 8235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∧ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
6347, 49, 26, 61, 62syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
6414, 18, 37, 39, 44, 63gsumsubmcl 18240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0)
65 ringmnd 18477 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6616, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
67 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑥𝐼)
6820, 67ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
70 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑥))
7113, 70gsumsn 18275 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
7266, 67, 69, 71syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
73 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
7473, 2sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋𝑥) = 0)
75 elnn0 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
7668, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
77 orel2 398 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ))
7874, 76, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ)
7972, 78eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ)
80 nn0nnaddcl 11268 . . . . . . . . . . 11 (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
8164, 79, 80syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
8281nnne0d 11009 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ≠ 0)
8335, 82eqnetrd 2857 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) ≠ 0)
8483expr 642 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
852, 84syl5bir 233 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8685rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
871, 86syl5bir 233 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8887necon4bd 2810 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
89 ffn 6002 . . . . . 6 (𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑋 Fn 𝐼)
909, 89syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
91 0nn0 11251 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
92 fnconstg 6050 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
9391, 92mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
94 eqfnfv 6267 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
9590, 93, 94syl2anc 692 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
96 c0ex 9978 . . . . . . 7 0 ∈ V
9796fvconst2 6423 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
9897eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑥𝐼 → ((𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
9998ralbiia 2973 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
10095, 99syl6bb 276 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
10188, 100sylibrd 249 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
1028psrbag0 19413 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
103102adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
104 oveq2 6612 . . . . . 6 ( = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
105 ovex 6632 . . . . . 6 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
106104, 4, 105fvmpt 6239 . . . . 5 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
107103, 106syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
108 fconstmpt 5123 . . . . . 6 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
109108oveq2i 6615 . . . . 5 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0))
11016, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
11114gsumz 17295 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
112110, 111mpan 705 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
113112adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
114109, 113syl5eq 2667 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
115107, 114eqtrd 2655 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
116 fveq2 6148 . . . 4 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = (𝐻‘(𝐼 × {0})))
117116eqeq1d 2623 . . 3 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
118115, 117syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = 0))
119101, 118impbid 202 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  ccnv 5073  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883  cn 10964  0cn0 11236   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  SubMndcsubmnd 17255  CMndccmn 18114  Ringcrg 18468  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-cnfld 19666
This theorem is referenced by:  mdegle0  23741
  Copyright terms: Public domain W3C validator