MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4 24015
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3129 . . . . 5 (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
2 df-ne 2929 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
3 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
5 ovex 6837 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6440 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
76ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 19563 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
109feqmptd 6407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1110adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1211oveq2d 6825 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))))
13 cnfldbas 19948 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfld0 19968 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
15 cnfldadd 19949 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℂfld)
16 cnring 19966 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ Ring
17 ringcmn 18777 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼𝑉)
209adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
2120ffvelrnda 6518 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 11541 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
238psrbagfsupp 19707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 4824 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
27 incom 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28 disjdif 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
2927, 28eqtri 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31 difsnid 4482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
3231eqcomd 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3332ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 18525 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
357, 12, 343eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
36 difexg 4956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3736ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38 nn0subm 19999 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40 eldifi 3871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦𝐼)
41 ffvelrn 6516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4220, 40, 41syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
43 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4442, 43fmptd 6544 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
45 mptexg 6644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
4746ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
48 funmpt 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
50 funmpt 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
52 difss 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
53 resmpt 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
55 resss 5576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5654, 55eqsstr3i 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
58 mptexg 6644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
5958ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
60 funsssuppss 7486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
6151, 57, 59, 60syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
62 fsuppsssupp 8452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∧ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
6347, 49, 26, 61, 62syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
6414, 18, 37, 39, 44, 63gsumsubmcl 18515 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0)
65 ringmnd 18752 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6616, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
67 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑥𝐼)
6820, 67ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
70 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑥))
7113, 70gsumsn 18550 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
7266, 67, 69, 71syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
73 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
7473, 2sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋𝑥) = 0)
75 elnn0 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
7668, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
77 orel2 397 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ))
7874, 76, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ)
7972, 78eqeltrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ)
80 nn0nnaddcl 11512 . . . . . . . . . . 11 (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
8164, 79, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
8281nnne0d 11253 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ≠ 0)
8335, 82eqnetrd 2995 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) ≠ 0)
8483expr 644 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
852, 84syl5bir 233 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8685rexlimdva 3165 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
871, 86syl5bir 233 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8887necon4bd 2948 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
89 ffn 6202 . . . . . 6 (𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑋 Fn 𝐼)
909, 89syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
91 0nn0 11495 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
92 fnconstg 6250 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
9391, 92mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
94 eqfnfv 6470 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
9590, 93, 94syl2anc 696 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
96 c0ex 10222 . . . . . . 7 0 ∈ V
9796fvconst2 6629 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
9897eqeq2d 2766 . . . . 5 (𝑥𝐼 → ((𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
9998ralbiia 3113 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
10095, 99syl6bb 276 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
10188, 100sylibrd 249 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
1028psrbag0 19692 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
103102adantr 472 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
104 oveq2 6817 . . . . . 6 ( = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
105 ovex 6837 . . . . . 6 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
106104, 4, 105fvmpt 6440 . . . . 5 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
107103, 106syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
108 fconstmpt 5316 . . . . . 6 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
109108oveq2i 6820 . . . . 5 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0))
11016, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
11114gsumz 17571 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
112110, 111mpan 708 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
113112adantr 472 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
114109, 113syl5eq 2802 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
115107, 114eqtrd 2790 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
116 fveq2 6348 . . . 4 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = (𝐻‘(𝐼 × {0})))
117116eqeq1d 2758 . . 3 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
118115, 117syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = 0))
119101, 118impbid 202 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  wrex 3047  {crab 3050  Vcvv 3336  cdif 3708  cun 3709  cin 3710  wss 3711  c0 4054  {csn 4317   class class class wbr 4800  cmpt 4877   × cxp 5260  ccnv 5261  cres 5264  cima 5265  Fun wfun 6039   Fn wfn 6040  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809   supp csupp 7459  𝑚 cmap 8019  Fincfn 8117   finSupp cfsupp 8436  cc 10122  0cc0 10124   + caddc 10127  cn 11208  0cn0 11480   Σg cgsu 16299  Mndcmnd 17491  SubMndcsubmnd 17531  CMndccmn 18389  Ringcrg 18743  fldccnfld 19944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-hash 13308  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-cnfld 19945
This theorem is referenced by:  mdegle0  24032
  Copyright terms: Public domain W3C validator