Theorem telfsumo2 15152

Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo2	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.1	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	negeqd 10874	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → -𝐴 = -𝐵)
3		telfsumo.2	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4	3	negeqd 10874	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → -𝐴 = -𝐶)
5		telfsumo.3	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
6	5	negeqd 10874	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐷)
7		telfsumo.4	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
8	7	negeqd 10874	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐸)
9		telfsumo.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		telfsumo.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negcld 10978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	telfsumo 15151	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = (-𝐷 − -𝐸))
13	10	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
14		elfzofz 13047	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
15	1	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	rspccva 3621	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	13, 14, 16	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		fzofzp1 13128	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
19	3	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
20	19	rspccva 3621	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	17, 21	neg2subd 11008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
23	22	sumeq2dv 15054	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(-𝐵 − -𝐶) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵))
24	5	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
25		eluzfz1 12908	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26	9, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
27	24, 13, 26	rspcdva 3624	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
28	7	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
29		eluzfz2 12909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
30	9, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31	28, 13, 30	rspcdva 3624	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
32	27, 31	neg2subd 11008	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐷 − -𝐸) = (𝐸 − 𝐷))
33	12, 23, 32	3eqtr3d 2864	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  -cneg 10865  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  Σcsu 15036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037

This theorem is referenced by:  telfsum2  15154  dvfsumle  24612  dvfsumabs  24614  advlogexp  25232