MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsum 18437
Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m = (-g𝐺)
telgsum.0 0 = (0g𝐺)
telgsum.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
telgsum.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
telgsum.c (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
telgsum.d (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsum (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsum
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2 telgsum.c . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
41, 3csbied 3593 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐶)
54eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 peano2nn0 11371 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8 telgsum.d . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
98adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
107, 9csbied 3593 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐷)
1110eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
125, 11oveq12d 6708 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 𝐷) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1312mpteq2dva 4777 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1413oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
15 telgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 telgsum.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
17 telgsum.m . . 3 = (-g𝐺)
18 telgsum.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
19 telgsum.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
20 telgsum.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
21 telgsum.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21telgsums 18436 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = 0 / 𝑘𝐴)
23 c0ex 10072 . . . 4 0 ∈ V
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ V)
25 telgsum.e . . . 4 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3593 . 2 (𝜑0 / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2814, 22, 273eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  -gcsg 17471  Abelcabl 18240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator