Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsums Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsums 18479
 Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsums.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m = (-g𝐺)
telgsums.0 0 = (0g𝐺)
telgsums.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
telgsums.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
telgsums (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsums
StepHypRef Expression
1 telgsums.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 telgsums.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 telgsums.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
4 ablcmn 18288 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 ablgrp 18287 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
87adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10 telgsums.f . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
12 rspcsbela 4082 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
139, 11, 12syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
14 peano2nn0 11414 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15 rspcsbela 4082 . . . . . 6 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
1614, 10, 15syl2anr 496 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
17 telgsums.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
181, 17grpsubcl 17585 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
198, 13, 16, 18syl3anc 1407 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2019ralrimiva 3036 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
21 telgsums.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
22 telgsums.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
23 rspsbca 3593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
24 vex 3275 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
25 sbcimg 3551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
26 sbcbr2g 4786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘))
27 csbvarg 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
2827breq2d 4740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → (𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘𝑆 < 𝑖))
2926, 28bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖))
30 sbceq1g 4064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3129, 30imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3225, 31bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3423, 33sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3534expcom 450 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3622, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3736imp31 447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )
3821nn0red 11433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
41 nn0re 11382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
4241ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
4314ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11433 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
45 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
4642ltp1d 11035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
4740, 42, 44, 45, 46lttrd 10279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
4847ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖𝑆 < (𝑖 + 1)))
49 rspsbca 3593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
50 ovex 6761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 + 1) ∈ V
51 sbcimg 3551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
52 sbcbr2g 4786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘))
53 csbvarg 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑖 + 1))
5453breq2d 4740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
5552, 54bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
56 sbceq1g 4064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
5755, 56imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5851, 57bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5950, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6049, 59sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6114, 22, 60syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6248, 61syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6362imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
6437, 63oveq12d 6751 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ( 0 0 ))
658adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
661, 2grpidcl 17540 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
6765, 66jccir 563 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝐵))
681, 2, 17grpsubid 17589 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 0 ) = 0 )
6967, 68syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 0 ) = 0 )
7064, 69eqtrd 2726 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 )
7170ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
7271ralrimiva 3036 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
731, 2, 5, 20, 21, 72gsummptnn0fzv 18472 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))))
74 fzssuz 12464 . . . . . 6 (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
76 nn0uz 11804 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
7775, 76syl6sseqr 3726 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
78 ssralv 3740 . . . 4 ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵))
7977, 10, 78sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵)
801, 3, 17, 21, 79telgsumfz0s 18477 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶))
81 peano2nn0 11414 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8221, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8338ltp1d 11035 . . . . 5 (𝜑𝑆 < (𝑆 + 1))
84 rspsbca 3593 . . . . . . 7 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
85 ovex 6761 . . . . . . . 8 (𝑆 + 1) ∈ V
86 sbcimg 3551 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
87 sbcbr2g 4786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘))
88 csbvarg 4079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑆 + 1))
8988breq2d 4740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
9087, 89bitrd 268 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
91 sbceq1g 4064 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9290, 91imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9386, 92bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9485, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9584, 94sylib 208 . . . . . 6 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9695ex 449 . . . . 5 ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9782, 22, 83, 96syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
9897oveq2d 6749 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = (0 / 𝑘𝐶 0 ))
99 0nn0 11388 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
10099a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
101 rspcsbela 4082 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 0 / 𝑘𝐶𝐵)
102100, 10, 101syl2anc 696 . . . 4 (𝜑0 / 𝑘𝐶𝐵)
1031, 2, 17grpsubid1 17590 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 / 𝑘𝐶𝐵) → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
1047, 102, 103syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
10598, 104eqtrd 2726 . 2 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 / 𝑘𝐶)
10673, 80, 1053eqtrd 2730 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  ∀wral 2982  Vcvv 3272  [wsbc 3509  ⦋csb 3607   ⊆ wss 3648   class class class wbr 4728   ↦ cmpt 4805  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  ℝcr 10016  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020   < clt 10155  ℕ0cn0 11373  ℤ≥cuz 11768  ...cfz 12408  Basecbs 15948  0gc0g 16191   Σg cgsu 16192  Grpcgrp 17512  -gcsg 17514  CMndccmn 18282  Abelcabl 18283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-fal 1570  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-iin 4599  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-se 5146  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-isom 5978  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-supp 7384  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-fsupp 8360  df-oi 8499  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-2 11160  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-seq 12885  df-hash 13201  df-ndx 15951  df-slot 15952  df-base 15954  df-sets 15955  df-ress 15956  df-plusg 16045  df-0g 16193  df-gsum 16194  df-mre 16337  df-mrc 16338  df-acs 16340  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-submnd 17426  df-grp 17515  df-minusg 17516  df-sbg 17517  df-mulg 17631  df-cntz 17839  df-cmn 18284  df-abl 18285 This theorem is referenced by:  telgsum  18480
 Copyright terms: Public domain W3C validator