Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0co2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0co2 35583
Description: The additive identity trace-perserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 35816? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0co2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2
StepHypRef Expression
1 tendo0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 35514 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
4 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5 tendo0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
64, 5tendo02 35582 . . 3 ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
84, 5tendo02 35582 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
983ad2ant2 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
104, 5tendo02 35582 . . . . 5 (𝐺𝑇 → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11103ad2ant3 1082 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
129, 11coeq12d 5251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13 f1oi 6136 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
14 f1of 6099 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
15 fcoi1 6040 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1613, 14, 15mp2b 10 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1712, 16syl6req 2672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
187, 17eqtrd 2655 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678   I cid 4989  cres 5081  ccom 5083  wf 5848  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  Basecbs 15788  HLchlt 34144  LHypclh 34777  LTrncltrn 34894  TEndoctendo 35547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-riotaBAD 33746
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-map 7811  df-preset 16856  df-poset 16874  df-plt 16886  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-p0 16967  df-p1 16968  df-lat 16974  df-clat 17036  df-oposet 33970  df-ol 33972  df-oml 33973  df-covers 34060  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145  df-llines 34291  df-lplanes 34292  df-lvols 34293  df-lines 34294  df-psubsp 34296  df-pmap 34297  df-padd 34589  df-lhyp 34781  df-laut 34782  df-ldil 34897  df-ltrn 34898  df-trl 34953
This theorem is referenced by:  tendo0cl  35585
  Copyright terms: Public domain W3C validator