Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0pl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0pl 35905
Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendo0pl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendo0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 tendo0.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 tendo0.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 tendo0.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 35904 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
87adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
9 simpr 477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
10 tendo0pl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
113, 4, 5, 10tendoplcl 35895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
121, 8, 9, 11syl3anc 1325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13 simpll 790 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1413, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑂𝐸)
15 simplr 792 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
16 simpr 477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
1710, 4tendopl2 35891 . . . . 5 ((𝑂𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1325 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
196, 2tendo02 35901 . . . . . 6 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2019adantl 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2120coeq1d 5281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)))
223, 4, 5tendocl 35881 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
23223expa 1264 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
242, 3, 4ltrn1o 35236 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2513, 23, 24syl2anc 693 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
26 f1of 6135 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑆𝑔):𝐵𝐵)
27 fcoi2 6077 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2918, 21, 283eqtrd 2659 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3029ralrimiva 2965 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
313, 4, 5tendoeq1 35878 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
321, 12, 9, 30, 31syl121anc 1330 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cmpt 4727   I cid 5021  cres 5114  ccom 5116  wf 5882  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  Basecbs 15851  HLchlt 34463  LHypclh 35096  LTrncltrn 35213  TEndoctendo 35866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-riotaBAD 34065
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-undef 7396  df-map 7856  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-p1 17034  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-llines 34610  df-lplanes 34611  df-lvols 34612  df-lines 34613  df-psubsp 34615  df-pmap 34616  df-padd 34908  df-lhyp 35100  df-laut 35101  df-ldil 35216  df-ltrn 35217  df-trl 35272  df-tendo 35869
This theorem is referenced by:  tendo0plr  35906  erngdvlem1  36102  erngdvlem4  36105  erng0g  36108  erngdvlem1-rN  36110  erngdvlem4-rN  36113  dvh0g  36226  dvhopN  36231  diblss  36285  diblsmopel  36286
  Copyright terms: Public domain W3C validator