Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocl 35532
Description: Closure of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tendocl
StepHypRef Expression
1 tendof.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendof.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tendof.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendof 35528 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆:𝑇𝑇)
543adant3 1079 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝑆:𝑇𝑇)
6 simp3 1061 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
75, 6ffvelrnd 6316 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wf 5843  cfv 5847  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  TEndoctendo 35517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-tendo 35520
This theorem is referenced by:  tendoco2  35533  tendococl  35537  tendoid  35538  tendoplcl2  35543  tendopltp  35545  tendoplcl  35546  tendoplcom  35547  tendodi1  35549  tendodi2  35550  tendo0pl  35556  tendoicl  35561  tendoipl  35562  cdlemi1  35583  cdlemi2  35584  cdlemi  35585  cdlemj2  35587  tendo0mul  35591  tendoconid  35594  tendotr  35595  cdleml1N  35741  cdleml2N  35742  cdleml6  35746  dva1dim  35750  tendospcl  35784  tendocnv  35787  tendospcanN  35789  dvalveclem  35791  dialss  35812  dvhvscacl  35869  dvhlveclem  35874  dib1dim  35931  dib1dim2  35934  diblss  35936  dicssdvh  35952  diclspsn  35960  cdlemn6  35968  dihopelvalcpre  36014  dih1  36052  dihglbcpreN  36066  dih1dimatlem0  36094  dih1dimatlem  36095
  Copyright terms: Public domain W3C validator