Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoco2 36550
Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))

Proof of Theorem tendoco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1238 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑈𝐸)
4 simp3l 1241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
5 simp3r 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
6 tendof.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendof.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendof.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8tendovalco 36547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
11 simp2r 1240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑉𝐸)
126, 7, 8tendovalco 36547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
131, 2, 11, 4, 5, 12syl32anc 1481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉‘(𝐹𝐺)) = ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺)))
1410, 13coeq12d 5434 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))))
15 simp1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
166, 7, 8tendocl 36549 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
1715, 3, 5, 16syl3anc 1473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
186, 7, 8tendocl 36549 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
1915, 11, 4, 18syl3anc 1473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
206, 7ltrnco4 36521 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)) ∘ ((𝑉𝐹) ∘ (𝑉𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
2214, 21eqtrd 2786 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑈‘(𝐹𝐺)) ∘ (𝑉‘(𝐹𝐺))) = (((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∘ ((𝑈𝐺) ∘ (𝑉𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  ccom 5262  cfv 6041  HLchlt 35132  LHypclh 35765  LTrncltrn 35882  TEndoctendo 36534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-riotaBAD 34734
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-undef 7560  df-map 8017  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-clat 17301  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-lplanes 35280  df-lvols 35281  df-lines 35282  df-psubsp 35284  df-pmap 35285  df-padd 35577  df-lhyp 35769  df-laut 35770  df-ldil 35885  df-ltrn 35886  df-trl 35941  df-tendo 36537
This theorem is referenced by:  tendoplco2  36561
  Copyright terms: Public domain W3C validator