Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi1 35538
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1065 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1066 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 simpr3 1067 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 35535 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 35526 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1323 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 35526 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 35526 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 35535 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1323 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 797 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
21 simplr1 1101 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
22 simpll 789 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simplr2 1102 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
24 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
255, 6, 7tendocl 35521 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1103 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
285, 6, 7tendocl 35521 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 35519 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1331 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
328, 6tendopl2 35531 . . . . . . 7 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3433fveq2d 6154 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
355, 6, 7tendocoval 35520 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1334 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
375, 6, 7tendocoval 35520 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1334 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3936, 38coeq12d 5251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2671 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 35531 . . . . 5 (((𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 35520 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1328 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2671 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
4948ralrimiva 2965 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
505, 6, 7tendoeq1 35518 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1328 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cmpt 4678  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  TEndoctendo 35506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912  df-tendo 35509
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  35744  erngdvlem3-rN  35752
  Copyright terms: Public domain W3C validator