Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoeq2 37790
Description: Condition determining equality of two trace-preserving endomorphisms, showing it is unnecessary to consider the identity translation. In tendocan 37840, we show that we only need to consider a single non-identity translation. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoeq2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoeq2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoeq2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoeq2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoeq2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem tendoeq2
StepHypRef Expression
1 tendoeq2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoeq2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoeq2.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendoid 37789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
54adantrr 713 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
61, 2, 3tendoid 37789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
76adantrl 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
85, 7eqtr4d 2856 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
9 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑉𝑓) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
119, 10eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵))))
128, 11syl5ibrcom 248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1312ralrimivw 3180 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
14 r19.26 3167 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
15 jaob 955 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
16 exmidne 3023 . . . . . . . 8 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17 pm5.5 363 . . . . . . . 8 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
1915, 18bitr3i 278 . . . . . 6 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2019ralbii 3162 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2114, 20bitr3i 278 . . . 4 ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
22 tendoeq2.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
232, 22, 3tendoeq1 37780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉)
24233expia 1113 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) → 𝑈 = 𝑉))
2521, 24syl5bi 243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉))
2613, 25mpand 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉))
27263impia 1109 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   I cid 5452  cres 5550  cfv 6348  Basecbs 16471  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  tendocan  37840
  Copyright terms: Public domain W3C validator