Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoipl 36402
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
tendoi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendoi.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoipl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendoicl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendoicl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.i . . . 4 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
62, 3, 4, 5tendoicl 36401 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
7 simpr 476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
8 tendoi.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
92, 3, 4, 8tendoplcl 36386 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
101, 6, 7, 9syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11 tendoi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 tendoi.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 36395 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1413adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
155, 3tendoi2 36400 . . . . . . 7 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1615adantll 750 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1716coeq1d 5316 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
18 simpll 805 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
192, 3, 4tendocl 36372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
20193expa 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
2111, 2, 3ltrn1o 35728 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2218, 20, 21syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
23 f1ococnv1 6203 . . . . . 6 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2517, 24eqtrd 2685 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
266adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
27 simplr 807 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
28 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
298, 3tendopl2 36382 . . . . 5 (((𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3112, 11tendo02 36392 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3231adantl 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3325, 30, 323eqtr4d 2695 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
3433ralrimiva 2995 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
352, 3, 4tendoeq1 36369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑂𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cmpt 4762   I cid 5052  ccnv 5142  cres 5145  ccom 5147  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Basecbs 15904  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  TEndoctendo 36357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360
This theorem is referenced by:  tendoipl2  36403  erngdvlem1  36593  erngdvlem1-rN  36601
  Copyright terms: Public domain W3C validator