Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoipl 37815
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
tendoi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendoi.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoipl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendoicl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendoicl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.i . . . 4 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
62, 3, 4, 5tendoicl 37814 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
7 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
8 tendoi.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
92, 3, 4, 8tendoplcl 37799 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
101, 6, 7, 9syl3anc 1363 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11 tendoi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 tendoi.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 37808 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1413adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
155, 3tendoi2 37813 . . . . . . 7 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1615adantll 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
1716coeq1d 5726 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
18 simpll 763 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
192, 3, 4tendocl 37785 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
20193expa 1110 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
2111, 2, 3ltrn1o 37142 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
23 f1ococnv1 6637 . . . . . 6 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
2517, 24eqtrd 2856 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
266adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
27 simplr 765 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
28 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
298, 3tendopl2 37795 . . . . 5 (((𝐼𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
3112, 11tendo02 37805 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3231adantl 482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
3325, 30, 323eqtr4d 2866 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
3433ralrimiva 3182 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
352, 3, 4tendoeq1 37782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝐼𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑂𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝐼𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1367 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  cmpt 5138   I cid 5453  ccnv 5548  cres 5551  ccom 5553  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Basecbs 16473  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119  TEndoctendo 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177  df-tendo 37773
This theorem is referenced by:  tendoipl2  37816  erngdvlem1  38006  erngdvlem1-rN  38014
  Copyright terms: Public domain W3C validator