Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplcl 35588
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendoplcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendopl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendopl.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2621 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendopl.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 simp1 1059 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpl1 1062 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpl2 1063 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
9 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
102, 3, 5tendocl 35574 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
117, 8, 9, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
12 simpl3 1064 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
132, 3, 5tendocl 35574 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
147, 12, 9, 13syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
152, 3ltrnco 35526 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) ∈ 𝑇)
167, 11, 14, 15syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) ∈ 𝑇)
17 eqid 2621 . . . 4 (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
1816, 17fmptd 6351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))):𝑇𝑇)
19 tendopl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
2019, 3tendopl 35583 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
21203adant1 1077 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
2221feq1d 5997 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → ((𝑈𝑃𝑉):𝑇𝑇 ↔ (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))):𝑇𝑇))
2318, 22mpbird 247 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉):𝑇𝑇)
24 simp11 1089 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇𝑖𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
25 simp12 1090 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇𝑖𝑇) → 𝑈𝐸)
26 simp13 1091 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇𝑖𝑇) → 𝑉𝐸)
27 3simpc 1058 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇𝑖𝑇) → (𝑇𝑖𝑇))
282, 3, 5, 19tendoplco2 35586 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑇𝑖𝑇)) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
2924, 25, 26, 27, 28syl121anc 1328 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇𝑖𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
30 simpl1 1062 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31 simpl2 1063 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → 𝑈𝐸)
32 simpl3 1064 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → 𝑉𝐸)
33 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → 𝑇)
342, 3, 5, 19, 1, 4tendopltp 35587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘))
3530, 31, 32, 33, 34syl121anc 1328 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 29, 35istendod 35569 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  lecple 15888  HLchlt 34156  LHypclh 34789  LTrncltrn 34906  trLctrl 34964  TEndoctendo 35559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-undef 7359  df-map 7819  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tendo 35562
This theorem is referenced by:  tendoplcom  35589  tendoplass  35590  tendodi1  35591  tendodi2  35592  tendo0pl  35598  tendoipl  35604  erngdvlem1  35795  erngdvlem3  35797  erngdvlem1-rN  35803  erngdvlem3-rN  35805  dvalveclem  35833  dvhvaddcl  35903  dicvaddcl  35998
  Copyright terms: Public domain W3C validator