Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendopltp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendopltp 36570
 Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on theorem trlco 36517. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 36517) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendopltp.l = (le‘𝐾)
tendopltp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 tendopltp.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp1l 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 35153 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
10 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
117, 8, 9, 10tendoplcl2 36568 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
12 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
131, 7, 8, 12trlcl 35954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
146, 11, 13syl2anc 696 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
157, 8, 9tendocl 36557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
16153adant2r 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
171, 7, 8, 12trlcl 35954 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
186, 16, 17syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
197, 8, 9tendocl 36557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
20193adant2l 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
211, 7, 8, 12trlcl 35954 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
226, 20, 21syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
23 eqid 2760 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
241, 23latjcl 17252 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
255, 18, 22, 24syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp3 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
271, 7, 8, 12trlcl 35954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
286, 26, 27syl2anc 696 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
29 simp2l 1242 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈𝐸)
30 simp2r 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
3110, 8tendopl2 36567 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3229, 30, 26, 31syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3332fveq2d 6356 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))))
342, 23, 7, 8, 12trlco 36517 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
356, 16, 20, 34syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
3633, 35eqbrtrd 4826 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
372, 7, 8, 12, 9tendotp 36551 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
38373adant2r 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
392, 7, 8, 12, 9tendotp 36551 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
40393adant2l 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
411, 2, 23latjle12 17263 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
425, 18, 22, 28, 41syl13anc 1479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
4338, 40, 42mpbi2and 994 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹))
441, 2, 5, 14, 25, 28, 36, 43lattrd 17259 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  trLctrl 35948  TEndoctendo 36542 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-riotaBAD 34742 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-undef 7568  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tendo 36545 This theorem is referenced by:  tendoplcl  36571
 Copyright terms: Public domain W3C validator