Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendopltp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendopltp 37796
Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on theorem trlco 37743. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 37743) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendopltp.l = (le‘𝐾)
tendopltp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 tendopltp.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp1l 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 36380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
106, 7, 8, 9tendoplcl2 37794 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
121, 6, 7, 11trlcl 37180 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
135, 10, 12syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
146, 7, 8tendocl 37783 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
15143adant2r 1171 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
161, 6, 7, 11trlcl 37180 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
175, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
186, 7, 8tendocl 37783 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
19183adant2l 1170 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
201, 6, 7, 11trlcl 37180 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
215, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22 eqid 2818 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
231, 22latjcl 17649 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
244, 17, 21, 23syl3anc 1363 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp3 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
261, 6, 7, 11trlcl 37180 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
275, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28 simp2l 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈𝐸)
29 simp2r 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
309, 7tendopl2 37793 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3128, 29, 25, 30syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3231fveq2d 6667 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))))
332, 22, 6, 7, 11trlco 37743 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
345, 15, 19, 33syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
3532, 34eqbrtrd 5079 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
362, 6, 7, 11, 8tendotp 37777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
37363adant2r 1171 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
382, 6, 7, 11, 8tendotp 37777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
39383adant2l 1170 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
401, 2, 22latjle12 17660 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
414, 17, 21, 27, 40syl13anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
4237, 39, 41mpbi2and 708 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹))
431, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42lattrd 17656 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  Latclat 17643  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  tendoplcl  37797
  Copyright terms: Public domain W3C validator