Theorem tendospcanN 38153

Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendospcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendospcanN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendospcan.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendospcan.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendospcan.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendocnv 38151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
5	4	3adant3l 1176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡(𝑆‘𝐺) = (𝑆‘◡𝐺))
6	5	coeq2d 5728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
7		simp1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
9		simp3l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11	1, 2	ltrncnv 37276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
12	7, 10, 11	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
13	1, 2, 3	tendospdi1 38150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
14	7, 8, 9, 12, 13	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ((𝑆‘𝐹) ∘ (𝑆‘◡𝐺)))
15	6, 14	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
16	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)))
17	16	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20		simpl3l 1224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
21	1, 2, 3	tendocl 37897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)
23		simpl3r 1225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3	tendocl 37897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
25	18, 19, 23, 24	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
26		tendospcan.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27	26, 1, 2	ltrncoidN 37258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
28	18, 22, 25, 27	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆‘𝐹) ∘ ◡(𝑆‘𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)))
29	18, 23, 11	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
30	1, 2	ltrnco 37849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
31	18, 20, 29, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
32		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33		tendospcan.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
34	26, 1, 2, 3, 33	tendoid0 37955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
35	18, 19, 31, 32, 34	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
36	17, 28, 35	3bitr3d 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
37	36	biimpd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
38	37	impancom 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
39	38	necon1d 3038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → (𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40		simpl1 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
41		simpl3l 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
42		simpl3r 1225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
43	26, 1, 2	ltrncoidN 37258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
45	39, 44	sylibd 241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺)) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺))
46	45	3exp1 1348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑆 ∈ 𝐸 → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝑆 ≠ 𝑂 → 𝐹 = 𝐺)))))
48	47	imp5a 443	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
49	48	com24 95	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50	49	3imp 1107	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51		fveq2 6665	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺))
52	50, 51	impbid1 227	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑆‘𝐹) = (𝑆‘𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ↦ cmpt 5139   I cid 5454  ^◡ccnv 5549   ↾ cres 5552   ∘ ccom 5554  ‘cfv 6350  Basecbs 16477  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  TEndoctendo 37882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tendo 37885

This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  38449