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Theorem tendospcanN 35792
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendospcan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendospcan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendospcan.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendospcanN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendocnv 35790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
543adant3l 1319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆𝐺) = (𝑆𝐺))
65coeq2d 5244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
7 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑆𝐸)
9 simp3l 1087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
10 simp3r 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
111, 2ltrncnv 34912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
127, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
131, 2, 3tendospdi1 35789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)))
156, 14eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = (𝑆‘(𝐹𝐺)))
1716eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵)))
18 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑆𝐸)
20 simpl3l 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
211, 2, 3tendocl 35535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐹𝑇) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐹) ∈ 𝑇)
23 simpl3r 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
241, 2, 3tendocl 35535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝐺𝑇) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐾)
2726, 1, 2ltrncoidN 34894 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑆𝐺) ∈ 𝑇) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2818, 22, 25, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑆𝐹) ∘ (𝑆𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)))
2918, 23, 11syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
301, 2ltrnco 35487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 35593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3617, 28, 353bitr3d 298 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝑆 = 𝑂))
3736biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝑆 = 𝑂))
3837impancom 456 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) → 𝑆 = 𝑂))
3938necon1d 2812 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)))
40 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 simpl3l 1114 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐹𝑇)
42 simpl3r 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → 𝐺𝑇)
4326, 1, 2ltrncoidN 34894 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
4539, 44sylibd 229 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺)) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺))
46453exp1 1280 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4746com24 95 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑆𝐸 → (𝑆𝑂𝐹 = 𝐺)))))
4847imp5a 623 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → 𝐹 = 𝐺))))
4948com24 95 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑆𝐸𝑆𝑂) → ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))))
50493imp 1254 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) → 𝐹 = 𝐺))
51 fveq2 6148 . 2 (𝐹 = 𝐺 → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐺))
5250, 51impbid1 215 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑆𝑂) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑆𝐹) = (𝑆𝐺) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cmpt 4673   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  cfv 5847  Basecbs 15781  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  TEndoctendo 35520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tendo 35523
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  36088
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