Theorem tendotr 37960

Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendotr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendotr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2l 1222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		tendotr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		tendotr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendotr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendoid 37903	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
7	1, 2, 6	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
9	8	fveq2d 6668	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10	7, 9, 8	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = 𝐹)
11	10	fveq2d 6668	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
12		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2l 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
14		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16		tendotr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		tendotr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	15, 4, 16, 17, 5	tendotp 37891	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
20		simpl1l 1220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 36490	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
23	4, 16, 5	tendocl 37897	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
24	12, 13, 14, 23	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
25		simpl2r 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑂)
26		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27		tendotr.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28	3, 4, 16, 5, 27	tendoid0 37955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
29	12, 13, 14, 26, 28	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
30	29	necon3bid 3060	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
31	25, 30	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
33	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 37303	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	12, 24, 31, 33	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 37303	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
36	12, 14, 26, 35	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
37	15, 32	atcmp 36441	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
38	22, 34, 36, 37	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
39	19, 38	mpbid 234	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
40	11, 39	pm2.61dane 3104	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   I cid 5453   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  lecple 16566  Atomscatm 36393  AtLatcal 36394  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  trLctrl 37288  TEndoctendo 37882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tendo 37885

This theorem is referenced by:  cdleml6  38111