Theorem tfrlem5 3906

Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains.

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem.1	⊢ A = {f∣∃x ∈ On (f Fn x ⋀ ∀y ∈ x (f ‘y) = (G ‘(f ↾ y)))}
tfrlem.2	⊢ F = ∪A

Assertion

Ref	Expression
tfrlem5	⊢ ((g ∈ A ⋀ h ∈ A) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))

Distinct variable groups:   x,y,f,g,h,A   x,v,u,F,y,f   x,G,y,f,g,h   v,g,h,u

Proof of Theorem tfrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . . . . 6 ⊢ A = {f∣∃x ∈ On (f Fn x ⋀ ∀y ∈ x (f ‘y) = (G ‘(f ↾ y)))}
2	1	tfrlem3 3904	. . . . 5 ⊢ A = {g∣∃z ∈ On (g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)))}
3	2	abeq2i 1567	. . . 4 ⊢ (g ∈ A ↔ ∃z ∈ On (g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))))
4	1	tfrlem3 3904	. . . . 5 ⊢ A = {h∣∃w ∈ On (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))}
5	4	abeq2i 1567	. . . 4 ⊢ (h ∈ A ↔ ∃w ∈ On (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
6	3, 5	anbi12i 482	. . 3 ⊢ ((g ∈ A ⋀ h ∈ A) ↔ (∃z ∈ On (g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ ∃w ∈ On (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
7		reeanv 1775	. . 3 ⊢ (∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) ↔ (∃z ∈ On (g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ ∃w ∈ On (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
8	6, 7	bitr4 176	. 2 ⊢ ((g ∈ A ⋀ h ∈ A) ↔ ∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
9		2elresin 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((g Fn z ⋀ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) ↔ (⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w)))))
10		tfrlem2 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((g ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w) ⋀ (h ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w)) → ((⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w))) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
11		fnresin1 3593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g Fn z → (g ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w))
12		fnresin2 3594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h Fn w → (h ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w))
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((g Fn z ⋀ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w))) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
14	9, 13	sylbid 203	. . . . . . . 8 ⊢ ((g Fn z ⋀ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
15	14	com24 37	. . . . . . 7 ⊢ ((g Fn z ⋀ h Fn w) → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → ((z ∩ w) ∈ On → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))))
16	15	com3r 35	. . . . . 6 ⊢ ((z ∩ w) ∈ On → ((g Fn z ⋀ h Fn w) → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))))
17	16	imp32 363	. . . . 5 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ ((g Fn z ⋀ h Fn w) ⋀ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
18		onin 2973	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ On ⋀ w ∈ On) → (z ∩ w) ∈ On)
19		r19.26m 1749	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) ↔ (∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
20		prth 555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((y ∈ z ⋀ y ∈ w) → ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
21		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → y ∈ (z ∩ w))
22		elin 2203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) ↔ (y ∈ z ⋀ y ∈ w))
23	21, 22	sylib 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (y ∈ z ⋀ y ∈ w))
24	20, 23	syl5 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
25		onelsst 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → y ⊆ (z ∩ w)))
26	25	impac 387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (y ⊆ (z ∩ w) ⋀ y ∈ (z ∩ w)))
27		fvres 3725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) → ((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (g ‘y))
28		resabs1 3380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → ((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y) = (g ↾ y))
29	28	fveq2d 3719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) = (G ‘(g ↾ y)))
30	27, 29	eqeqan12rd 1488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ↔ (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))))
31		fvres 3725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) → ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (h ‘y))
32		resabs1 3380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → ((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y) = (h ↾ y))
33	32	fveq2d 3719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) = (G ‘(h ↾ y)))
34	31, 33	eqeqan12rd 1488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ↔ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
35	30, 34	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → ((((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))) ↔ ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
36	26, 35	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → ((((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))) ↔ ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
37	36	bicomd 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))) ↔ (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))
38	24, 37	mpbidi 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → (((z ∩ w) ∈ On ⋀ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))
39	38	exp3a 375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
40	39	19.20i 990	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
41	19, 40	sylbir 201	. . . . . . 7 ⊢ ((∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))) → ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
42	41	anim2i 335	. . . . . 6 ⊢ (((g Fn z ⋀ h Fn w) ⋀ (∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((g Fn z ⋀ h Fn w) ⋀ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))))
43	42	an4s 508	. . . . 5 ⊢ (((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((g Fn z ⋀ h Fn w) ⋀ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ⋀ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))))
44	17, 18, 43	syl2an 454	. . . 4 ⊢ (((z ∈ On ⋀ w ∈ On) ⋀ ((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
45	44	ex 373	. . 3 ⊢ ((z ∈ On ⋀ w ∈ On) → (((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v)))
46	45	r19.23aivv 1745	. 2 ⊢ (∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ⋀ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ⋀ (h Fn w ⋀ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
47	8, 46	sylbi 199	1 ⊢ ((g ∈ A ⋀ h ∈ A) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ⋀ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  {cab 1461  ∀wral 1642  ∃wrex 1643   ∩ cin 2042   ⊆ wss 2043  ⟨cop 2407  ∪cuni 2498  Oncon0 2943   ↾ cres 3167   Fn wfn 3172   ‘cfv 3177

This theorem is referenced by:  tfrlem7 3908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain