Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tg5segofs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg5segofs 29806
Description: Rephrase axtg5seg 25077 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tg5segofs.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a (𝜑𝐴𝑃)
tg5segofs.b (𝜑𝐵𝑃)
tg5segofs.c (𝜑𝐶𝑃)
tg5segofs.d (𝜑𝐷𝑃)
tg5segofs.e (𝜑𝐸𝑃)
tg5segofs.f (𝜑𝐹𝑃)
tg5segofs.o 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h (𝜑𝐻𝑃)
tg5segofs.i (𝜑𝐼𝑃)
tg5segofs.1 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tg5segofs (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs
StepHypRef Expression
1 tg5segofs.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tg5segofs.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tg5segofs.s . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tg5segofs.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tg5segofs.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tg5segofs.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
7 tg5segofs.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
8 tg5segofs.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
9 tg5segofs.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
10 tg5segofs.h . 2 (𝜑𝐻𝑃)
11 tg5segofs.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
12 tg5segofs.i . 2 (𝜑𝐼𝑃)
13 tg5segofs.2 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
14 tg5segofs.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15 tg5segofs.o . . . . . 6 𝑂 = (AFS‘𝐺)
161, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12brafs 29805 . . . . 5 (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))))
1714, 16mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))))
1817simp1d 1065 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
1918simpld 473 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2018simprd 477 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
2117simp2d 1066 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)))
2221simpld 473 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹))
2321simprd 477 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻))
2417simp3d 1067 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))
2524simpld 473 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼))
2624simprd 477 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26axtg5seg 25077 1 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  distcds 15719  TarskiGcstrkg 25042  Itvcitv 25048  AFScafs 29802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-ov 6526  df-trkgcb 25062  df-trkg 25065  df-afs 29803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator