Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgblthelfgottOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgblthelfgottOLD 40041
Description: Obsolete version of tgblthelfgott 40034 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgottOLD ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )

Proof of Theorem tgblthelfgottOLD
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladderOLD 40040 . 2 𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
2 1nn0 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3 1nn 10878 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11350 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ
54nnzi 11234 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℤ
6 8nn0 11162 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
7 8nn 11038 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11350 . . . . . . . . . . . 12 88 ∈ ℕ
9 10nnOLD 11040 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
10 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
11 9nn 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℕ
1210, 11decnncl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 29 ∈ ℕ
1312nnnn0i 11147 . . . . . . . . . . . . 13 29 ∈ ℕ0
14 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
159, 13, 14mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (10↑29) ∈ ℕ
168, 15nnmulcli 10891 . . . . . . . . . . 11 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
1716nnzi 11234 . . . . . . . . . 10 (88 · (10↑29)) ∈ ℤ
18 1re 9895 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
198nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . 13 88 ∈ ℝ
2018, 19pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ)
21 0le1 10400 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
22 1lt10OLD 11085 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
237, 6, 2, 22decltiOLD 11380 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 88
2421, 23pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)
25 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
269, 2, 25mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℕ
2726nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) ∈ ℝ
2815nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑29) ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ)
30 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
31 10reOLD 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℝ
32 10posOLD 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 10
3330, 31, 32ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 10
349nncni 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℂ
35 exp1 12683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
3733, 36breqtrri 4604 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (10↑1)
38 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
3912nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 29 ∈ ℤ
4031, 38, 393pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ)
41 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
42 9nn0 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℕ0
4341, 42, 2, 22decltiOLD 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 29
4422, 43pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 29)
45 ltexp2a 12729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 29)) → (10↑1) < (10↑29))
4640, 44, 45mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑29)
4737, 46pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29))
48 ltmul12a 10728 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29)))) → (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)))
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 704 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29))
5026nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℤ
51 zmulcl 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
5238, 50, 51mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53 zltp1le 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29))))
5452, 17, 53mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)))
55 1t10e1p1e11OLD 39743 . . . . . . . . . . . . . 14 11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
5655eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · (10↑1)) + 1) = 11
5756breq1i 4584 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5854, 57bitri 262 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5949, 58mpbi 218 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (88 · (10↑29))
60 eluz2 11525 . . . . . . . . . 10 ((88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (88 · (10↑29))))
615, 17, 59, 60mpbir3an 1236 . . . . . . . . 9 (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11)
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11))
63 4nn 11034 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
642, 7decnncl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 18 ∈ ℕ
6564nnnn0i 11147 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
66 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (10↑18) ∈ ℕ)
679, 65, 66mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (10↑18) ∈ ℕ
6863, 67nnmulcli 10891 . . . . . . . . . . 11 (4 · (10↑18)) ∈ ℕ
6968nnzi 11234 . . . . . . . . . 10 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
70 4re 10944 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
7118, 70pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72 1lt4 11046 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 4
7321, 72pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
7467nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑18) ∈ ℝ
7527, 74pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ)
7664nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 18 ∈ ℤ
7731, 38, 763pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ)
783, 6, 2, 22decltiOLD 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 18
7922, 78pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 18)
80 ltexp2a 12729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 18)) → (10↑1) < (10↑18))
8177, 79, 80mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑18)
8237, 81pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18))
83 ltmul12a 10728 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)))
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 704 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18))
85 4z 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
8667nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑18) ∈ ℤ
87 zmulcl 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑18)) ∈ ℤ)
8885, 86, 87mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
89 zltp1le 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18))))
9052, 88, 89mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)))
9156breq1i 4584 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9290, 91bitri 262 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9384, 92mpbi 218 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (4 · (10↑18))
94 eluz2 11525 . . . . . . . . . 10 ((4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (4 · (10↑18))))
955, 69, 93, 94mpbir3an 1236 . . . . . . . . 9 (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11)
9695a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11))
97 simpl 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 4 < 𝑛)
99 evenz 39886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10099zred 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
10168nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · (10↑18)) ∈ ℝ
102 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
103100, 101, 102sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))))
105104imp32 447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))
106 ax-bgbltosilvaOLD 40038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛𝑛 ≤ (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108107ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110109ralrimiv 2947 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
112111ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
113 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114113ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
116115ad2antlr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
117 simpl1 1056 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118117ad2antlr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119 simpl2 1057 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘1) = 13)
120119ad2antlr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘1) = 13)
1216, 11decnncl 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 89 ∈ ℕ
122121nnrei 10876 . . . . . . . . . . . . . 14 89 ∈ ℝ
12315nngt0i 10901 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (10↑29)
12428, 123pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))
12519, 122, 1243pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . 13 (88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29)))
126 8lt9 11069 . . . . . . . . . . . . . 14 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 11362 . . . . . . . . . . . . 13 88 < 89
128 ltmul1a 10721 . . . . . . . . . . . . 13 (((88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))) ∧ 88 < 89) → (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29)))
129125, 127, 128mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))
130 breq2 4581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑) ↔ (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))))
131129, 130mpbiri 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
1321313ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
133132adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
134133ad2antlr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
135121, 15nnmulcli 10891 . . . . . . . . . . . . 13 (89 · (10↑29)) ∈ ℕ
136135nnrei 10876 . . . . . . . . . . . 12 (89 · (10↑29)) ∈ ℝ
137 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((𝑓𝑑) ∈ ℝ ↔ (89 · (10↑29)) ∈ ℝ))
138136, 137mpbiri 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
1391383ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
140139adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
141140ad2antlr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 40030 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
143142exp31 627 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
144143rexlimdva 3012 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ‘3) → (∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
145144imp 443 . . . 4 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ ∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
146145rexlimiva 3009 . . 3 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
147 breq2 4581 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
148 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (88 · (10↑29)) ↔ 𝑁 < (88 · (10↑29))))
149147, 148anbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) ↔ (7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))))
150 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
151149, 150imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
152151rspcv 3277 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
153152com23 83 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
1541533impib 1253 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
155146, 154sylcom 30 . 2 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
1561, 155ax-mp 5 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  cdif 3536  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  7c7 10922  8c8 10923  9c9 10924  10c10 10925  0cn0 11139  cz 11210  cdc 11325  cuz 11519  ..^cfzo 12289  cexp 12677  cprime 15169  RePartciccp 39756   Even ceven 39880   Odd codd 39881   GoldbachEven cgbe 39972   GoldbachOddALTV cgboa 39974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-bgbltosilvaOLD 40038  ax-hgprmladderOLD 40040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-10OLD 10934  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170  df-iccp 39757  df-even 39882  df-odd 39883  df-gbe 39975  df-gboa 39977
This theorem is referenced by:  tgoldbachltOLD  40042
  Copyright terms: Public domain W3C validator