Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgblthelfgottOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgblthelfgottOLD 41474
Description: Obsolete version of tgblthelfgott 41468 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgottOLD ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgblthelfgottOLD
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladderOLD 41473 . 2 𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
2 1nn0 11293 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3 1nn 11016 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11503 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ
54nnzi 11386 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℤ
6 8nn0 11300 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
7 8nn 11176 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11503 . . . . . . . . . . . 12 88 ∈ ℕ
9 10nnOLD 11178 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
10 2nn0 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
11 9nn 11177 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℕ
1210, 11decnncl 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 29 ∈ ℕ
1312nnnn0i 11285 . . . . . . . . . . . . 13 29 ∈ ℕ0
14 nnexpcl 12856 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
159, 13, 14mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (10↑29) ∈ ℕ
168, 15nnmulcli 11029 . . . . . . . . . . 11 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
1716nnzi 11386 . . . . . . . . . 10 (88 · (10↑29)) ∈ ℤ
18 1re 10024 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
198nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . 13 88 ∈ ℝ
2018, 19pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ)
21 0le1 10536 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
22 1lt10OLD 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
237, 6, 2, 22decltiOLD 11533 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 88
2421, 23pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)
25 nnexpcl 12856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
269, 2, 25mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℕ
2726nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) ∈ ℝ
2815nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑29) ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ)
30 0re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
31 10reOLD 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℝ
32 10posOLD 11108 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 10
3330, 31, 32ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 10
349nncni 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ ℂ
35 exp1 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
3733, 36breqtrri 4671 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (10↑1)
38 1z 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
3912nnzi 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 29 ∈ ℤ
4031, 38, 393pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ)
41 2nn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
42 9nn0 11301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℕ0
4341, 42, 2, 22decltiOLD 11533 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 29
4422, 43pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 29)
45 ltexp2a 12895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 29)) → (10↑1) < (10↑29))
4640, 44, 45mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑29)
4737, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29))
48 ltmul12a 10864 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29)))) → (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)))
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 708 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29))
5026nnzi 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) ∈ ℤ
51 zmulcl 11411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
5238, 50, 51mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53 zltp1le 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29))))
5452, 17, 53mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)))
55 1t10e1p1e11OLD 41083 . . . . . . . . . . . . . 14 11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
5655eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · (10↑1)) + 1) = 11
5756breq1i 4651 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5854, 57bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5949, 58mpbi 220 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (88 · (10↑29))
60 eluz2 11678 . . . . . . . . . 10 ((88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (88 · (10↑29))))
615, 17, 59, 60mpbir3an 1242 . . . . . . . . 9 (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11)
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ11))
63 4nn 11172 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
642, 7decnncl 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 18 ∈ ℕ
6564nnnn0i 11285 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
66 nnexpcl 12856 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (10↑18) ∈ ℕ)
679, 65, 66mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (10↑18) ∈ ℕ
6863, 67nnmulcli 11029 . . . . . . . . . . 11 (4 · (10↑18)) ∈ ℕ
6968nnzi 11386 . . . . . . . . . 10 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
70 4re 11082 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
7118, 70pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72 1lt4 11184 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 4
7321, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
7467nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑18) ∈ ℝ
7527, 74pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ)
7664nnzi 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 18 ∈ ℤ
7731, 38, 763pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ)
783, 6, 2, 22decltiOLD 11533 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 18
7922, 78pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 < 10 ∧ 1 < 18)
80 ltexp2a 12895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 18)) → (10↑1) < (10↑18))
8177, 79, 80mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑1) < (10↑18)
8237, 81pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18))
83 ltmul12a 10864 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)))
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 708 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18))
85 4z 11396 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
8667nnzi 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑18) ∈ ℤ
87 zmulcl 11411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑18)) ∈ ℤ)
8885, 86, 87mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
89 zltp1le 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18))))
9052, 88, 89mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)))
9156breq1i 4651 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9290, 91bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9384, 92mpbi 220 . . . . . . . . . 10 11 ≤ (4 · (10↑18))
94 eluz2 11678 . . . . . . . . . 10 ((4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (4 · (10↑18))))
955, 69, 93, 94mpbir3an 1242 . . . . . . . . 9 (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11)
9695a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ11))
97 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 4 < 𝑛)
99 evenz 41308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10099zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
10168nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · (10↑18)) ∈ ℝ
102 ltle 10111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
103100, 101, 102sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))))
105104imp32 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))
106 ax-bgbltosilvaOLD 41471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛𝑛 ≤ (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108107ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110109ralrimiv 2962 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
112111ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ‘3))
113 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114113ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
116115ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))
117 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118117ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓‘1) = 13)
120119ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘1) = 13)
1216, 11decnncl 11503 . . . . . . . . . . . . . . 15 89 ∈ ℕ
122121nnrei 11014 . . . . . . . . . . . . . 14 89 ∈ ℝ
12315nngt0i 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (10↑29)
12428, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))
12519, 122, 1243pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . . 13 (88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29)))
126 8lt9 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 11515 . . . . . . . . . . . . 13 88 < 89
128 ltmul1a 10857 . . . . . . . . . . . . 13 (((88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))) ∧ 88 < 89) → (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29)))
129125, 127, 128mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))
130 breq2 4648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑) ↔ (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))))
131129, 130mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
1321313ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
133132adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
134133ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓𝑑))
135121, 15nnmulcli 11029 . . . . . . . . . . . . 13 (89 · (10↑29)) ∈ ℕ
136135nnrei 11014 . . . . . . . . . . . 12 (89 · (10↑29)) ∈ ℝ
137 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((𝑓𝑑) ∈ ℝ ↔ (89 · (10↑29)) ∈ ℝ))
138136, 137mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑑) = (89 · (10↑29)) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
1391383ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
140139adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
141140ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓𝑑) ∈ ℝ)
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 41462 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
143142exp31 629 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
144143rexlimdva 3027 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ‘3) → (∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
145144imp 445 . . . 4 ((𝑑 ∈ (ℤ‘3) ∧ ∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖))))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
146145rexlimiva 3024 . . 3 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
147 breq2 4648 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
148 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (88 · (10↑29)) ↔ 𝑁 < (88 · (10↑29))))
149147, 148anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) ↔ (7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29)))))
150 eleq1 2687 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
151149, 150imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152151rspcv 3300 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153152com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
1541533impib 1260 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155146, 154sylcom 30 . 2 (∃𝑑 ∈ (ℤ‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1561, 155ax-mp 5 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  cdif 3564  {csn 4168   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  2c2 11055  3c3 11056  4c4 11057  7c7 11060  8c8 11061  9c9 11062  10c10 11063  0cn0 11277  cz 11362  cdc 11478  cuz 11672  ..^cfzo 12449  cexp 12843  cprime 15366  RePartciccp 41113   Even ceven 41302   Odd codd 41303   GoldbachEven cgbe 41398   GoldbachOdd cgbo 41400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-bgbltosilvaOLD 41471  ax-hgprmladderOLD 41473
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-10OLD 11072  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-prm 15367  df-iccp 41114  df-even 41304  df-odd 41305  df-gbe 41401  df-gbo 41403
This theorem is referenced by:  tgoldbachltOLD  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator