Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn2 25670
 Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn2.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn2.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
12 tgbtwnconn.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
14 tgbtwnconn2.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16tgbtwnexch3 25588 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
1817orcd 406 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
194adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
218adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2212adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
24 tgbtwnconn2.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26tgbtwnexch3 25588 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2827olcd 407 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29 tgbtwnconn2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
301, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24tgbtwnconn1 25669 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3118, 28, 30mpjaodan 862 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  distcds 16152  TarskiGcstrkg 25528  Itvcitv 25534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-trkgc 25546  df-trkgb 25547  df-trkgcb 25548  df-trkg 25551  df-cgrg 25605 This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  25671  tgbtwnconn22  25673  tgbtwnconnln2  25675  legtrid  25685  hlcgrex  25710  mirbtwnhl  25774  mirhl2  25775  krippenlem  25784  lnopp2hpgb  25854
 Copyright terms: Public domain W3C validator