Theorem tgbtwnconn22 26357

Description: Double connectivity law for betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn22.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn22.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn22.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn22.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn22	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Proof of Theorem tgbtwnconn22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2819	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		tgbtwnconn22.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnconn22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
15	14	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
16		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
17	1, 2, 3, 5, 11, 9, 7, 16	tgbtwncom 26266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
18		tgbtwnconn22.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
19	18	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19	tgbtwnouttr2 26273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
21	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
25	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐸))
28	1, 2, 3, 21, 25, 23, 24, 27	tgbtwncom 26266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐸𝐼𝐶))
29	1, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28	tgbtwnintr 26271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
30		tgbtwnconn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
31		tgbtwnconn22.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
32		tgbtwnconn22.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
33		tgbtwnconn22.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	1, 3, 4, 30, 10, 8, 6, 31, 32, 33	tgbtwnconn2 26354	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
35	20, 29, 34	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-trkgc 26226  df-trkgb 26227  df-trkgcb 26228  df-trkg 26231  df-cgrg 26289

This theorem is referenced by:  mideulem2  26512  flatcgra  26602