MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn3 26290
Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn3.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))

Proof of Theorem tgbtwnconn3
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2818 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
8 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
12 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgldim0itv 26217 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1413orcd 869 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
154ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16 simplr 765 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
178ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
1910ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
20 simprr 769 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑝)
2120necomd 3068 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝐴)
22 tgbtwnconn.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
2322ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐷𝑃)
24 tgbtwnconn3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simprl 767 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝))
271, 2, 3, 15, 23, 17, 16, 26tgbtwncom 26201 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐷))
281, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 23, 25, 27tgbtwnintr 26206 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
291, 2, 3, 15, 18, 17, 16, 28tgbtwncom 26201 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
30 tgbtwnconn3.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3130ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
321, 2, 3, 15, 17, 19, 23, 31tgbtwncom 26201 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 15, 23, 19, 17, 16, 32, 26tgbtwnexch3 26207 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
341, 2, 3, 15, 19, 17, 16, 33tgbtwncom 26201 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
351, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 29, 34tgbtwnconn2 26289 . . 3 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
364adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3722adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷𝑃)
388adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴𝑃)
39 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
401, 2, 3, 36, 37, 38, 39tgbtwndiff 26219 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
4135, 40r19.29a 3286 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
421, 8tgldimor 26215 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
4314, 41, 42mpjaodan 952 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  cle 10664  2c2 11680  chash 13678  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224
This theorem is referenced by:  tgbtwnconnln3  26291  hltr  26323  hlbtwn  26324  hlpasch  26469
  Copyright terms: Public domain W3C validator