Theorem tgcgrsub 26297

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
tgcgrsub.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwncgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwncgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrsub.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwncgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrsub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		tgcgrsub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13		tgcgrsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
14		tgcgrsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 26272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 26268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 26296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 26268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  distcds 16576  TarskiGcstrkg 26218  Itvcitv 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-trkgc 26236  df-trkgb 26237  df-trkgcb 26238  df-trkg 26241

This theorem is referenced by:  legtri3  26378  legbtwn  26382  tgcgrsub2  26383  colmid  26476