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Theorem tgcgrxfr 25313
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgcgrxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgcgrxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgcgrxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrxfr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒   ,𝑒   ,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
3 tgcgrxfr.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tgcgrxfr.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 tgcgrxfr.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tgcgrxfr.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 tgcgrxfr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgcgrxfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (#‘𝑃) = 1)
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 25299 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14 tgcgrxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
15 tgcgrxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
17 tgcgrxfr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 25300 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐴))
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 25300 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐹))
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 25300 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 25311 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝐷 = 𝐷)
25 id 22 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝑒 = 𝐴)
26 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴𝐹 = 𝐹)
2724, 25, 26s3eqd 13546 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
2827breq2d 4625 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
2923, 28anbi12d 746 . . . 4 (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
3029rspcev 3295 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
312, 13, 22, 30syl12anc 1321 . 2 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
326ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33 simplr 791 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝑔𝑃)
348ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐷𝑃)
351ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐴𝑃)
3615ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐵𝑃)
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 25263 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
386ad7antr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3933ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑔𝑃)
4039ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝑃)
418ad7antr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑃)
42 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑒𝑃)
4342ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒𝑃)
44 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓𝑃)
45 simpllr 798 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
4645simpld 475 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
47 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 25289 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
491ad7antr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴𝑃)
5017ad7antr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐶𝑃)
5110ad7antr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐹𝑃)
52 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
5352simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑔)
5453necomd 2845 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝐷)
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 25293 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
5652simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 25283 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
5815ad7antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵𝑃)
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6059ad7antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
6145simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))
62 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 25280 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑓) = (𝐴 𝐶))
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6564ad7antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6665eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝐹) = (𝐴 𝐶))
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 25281 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
6867oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
6948, 68eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
7061eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝑒))
7167oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝑒 𝐹))
7262, 71eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝑒 𝐹))
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 25275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
7473ad7antr 773 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 25311 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
7669, 75jca 554 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
7732ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7836ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
7917ad5antr 769 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 25263 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → ∃𝑓𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶)))
8176, 80r19.29a 3071 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
8281ex 450 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8382reximdva 3011 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → (∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8437, 83mpd 15 . . 3 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
856adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8610adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹𝑃)
878adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐷𝑃)
88 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 25301 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑔𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
9084, 89r19.29a 3071 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
913, 1tgldimor 25297 . 2 (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
9231, 90, 91mpjaodan 826 1 (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881  cle 10019  2c2 11014  #chash 13057  ⟨“cs3 13524  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  cgrGccgrg 25305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-cgrg 25306
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  25325  lnext  25362  midexlem  25487
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