MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgclb 20755
Description: The property tgcl 20754 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 20754 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 0opn 20690 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
32elfvexd 6209 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4 bastg 20751 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3595 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
75sselda 3595 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
86, 7anim12dan 881 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9 inopn 20685 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
1093expb 1264 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
118, 10syldan 487 . . . . 5 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12 tg2 20750 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ralrimiva 2963 . . . . 5 ((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1514ralrimivva 2968 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 isbasis2g 20733 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
173, 16syl 17 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
1815, 17mpbird 247 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
191, 18impbii 199 1 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  c0 3907  cfv 5876  topGenctg 16079  Topctop 20679  TopBasesctb 20730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-topgen 16085  df-top 20680  df-bases 20731
This theorem is referenced by:  bastop2  20779  iocpnfordt  21000  icomnfordt  21001  iooordt  21002  tgcn  21037  tgcnp  21038  2ndcctbss  21239  2ndcomap  21242  dis2ndc  21244  flftg  21781  met2ndci  22308  xrtgioo  22590  topfneec  32325
  Copyright terms: Public domain W3C validator