MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcnp 21051
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
tgcnp.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
tgcnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 tgcnp.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
4 iscnp 21035 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1325 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
7 topontop 20712 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
96, 8eqeltrrd 2701 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
10 tgclb 20768 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
119, 10sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
12 bastg 20764 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1413, 6sseqtr4d 3640 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
15 ssralv 3664 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1716anim2d 589 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
185, 17sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
196eleq2d 2686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (topGen‘𝐵)))
2019biimpa 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
21 tg2 20763 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧))
22 r19.29 3070 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)))
23 sstr 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)
2423expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
2524anim2d 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2625reximdv 3015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2827imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
2928imp32 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3029rexlimivw 3027 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3231expcom 451 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3321, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3433ex 450 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3534com23 86 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3620, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐾) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3736ralrimdva 2968 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3837anim2d 589 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
39 iscnp 21035 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
401, 2, 3, 39syl3anc 1325 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
4138, 40sylibrd 249 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)))
4218, 41impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wrex 2912  wss 3572  cima 5115  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  topGenctg 16092  Topctop 20692  TopOnctopon 20709  TopBasesctb 20743   CnP ccnp 21023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-map 7856  df-topgen 16098  df-top 20693  df-topon 20710  df-bases 20744  df-cnp 21026
This theorem is referenced by:  txcnp  21417  ptcnp  21419  metcnp3  22339
  Copyright terms: Public domain W3C validator