MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01 26220
Description: In geometries of dimension less than 2, all points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgdim01.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgdim01.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgdim01.g (𝜑𝐺𝑉)
tgdim01.1 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
tgdim01.x (𝜑𝑋𝑃)
tgdim01.y (𝜑𝑌𝑃)
tgdim01.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgdim01 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem tgdim01
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgdim01.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
2 tgdim01.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
3 tgdim01.z . 2 (𝜑𝑍𝑃)
4 tgdim01.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
5 tgdim01.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
6 tgdim01.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2818 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8 tgdim01.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
96, 7, 8istrkg2ld 26173 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
114, 10mtbid 325 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
12 rexnal3 3256 . . . 4 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1312con2bii 359 . . 3 (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1411, 13sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
15 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
1615eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
17 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
18 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
1918eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2016, 17, 193orbi123d 1426 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
21 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌))
2221eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
23 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌))
2423eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌)))
25 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2622, 24, 253orbi123d 1426 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
27 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
28 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌))
2928eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)))
30 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
3130eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3227, 29, 313orbi123d 1426 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3320, 26, 32rspc3v 3633 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3433imp 407 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
351, 2, 3, 14, 34syl31anc 1365 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  2c2 11680  Basecbs 16471  distcds 16562  DimTarskiGcstrkgld 26147  Itvcitv 26149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-trkgld 26165
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  26277
  Copyright terms: Public domain W3C validator