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Theorem tgioo 22646
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 22641 . . 3 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopnval 22290 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
61blssioo 22645 . . 3 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
7 elssuni 4499 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
8 unirnioo 12311 . . . . . . 7 ℝ = ran (,)
97, 8syl6sseqr 3685 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
10 retopbas 22611 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
12 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
139sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
151bl2ioo 22642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
1614, 15mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
17 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
1817rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
19 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2019rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
21 ioof 12309 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
22 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
24 fnovrn 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2523, 24mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2618, 20, 25syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2716, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
2813, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
29 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
30 1rp 11874 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
31 blcntr 22265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
322, 30, 31mp3an13 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3313, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3429, 33elind 3831 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
35 basis2 20803 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
3611, 12, 28, 34, 35syl22anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
37 ovelrn 6852 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
3823, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
39 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
40 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
4139, 40anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
42 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
43 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4442, 43mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
46 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
4945, 48sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
50 dfss 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
52 eliooxr 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
5318, 20jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
5446, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
55 iooin 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5652, 54, 55syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
5851, 57eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
59 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ*)
6147, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
6252adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
6362simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6461, 63ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ*)
6562simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6647, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6766rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
6865, 67ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*)
6946, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
71 mnflt 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 − 1))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
73 xrmax2 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
7463, 61, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
7560, 61, 64, 72, 74xrltletrd 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
76 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
7776, 58eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
78 eliooxr 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*))
79 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅)
80 ioon0 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
8179, 80syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))))
8278, 81mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
84 xrre2 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∧ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
8560, 64, 68, 75, 83, 84syl32anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ)
86 mnfle 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ* → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
8764, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎))
8860, 64, 68, 87, 83xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)))
89 xrmin2 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
9065, 67, 89syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))
91 xrre 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ≤ (𝑥 + 1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
9268, 66, 88, 90, 91syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
931ioo2blex 22644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎) ∈ ℝ ∧ if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1)) ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
9485, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (if(𝑎 ≤ (𝑥 − 1), (𝑥 − 1), 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ (𝑥 + 1), 𝑏, (𝑥 + 1))) ∈ ran (ball‘𝐷))
9558, 94eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
96 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
97 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
9896, 97mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
100 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
10139, 100anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
102101rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
10395, 76, 99, 102syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
104 blssex 22279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
1052, 47, 104sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
106103, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
10741, 106syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
109108rexlimivv 3065 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
110109imp 444 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11138, 110sylanb 488 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
112111rexlimiva 3057 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11336, 112syl 17 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
114113ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
1153elmopn2 22297 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
1162, 115ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
1179, 114, 116sylanbrc 699 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣𝐽)
118117ssriv 3640 . . . 4 ran (,) ⊆ 𝐽
119118, 5sseqtri 3670 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
120 2basgen 20842 . . 3 ((ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
1216, 119, 120mp2an 708 . 2 (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
1225, 121eqtr2i 2674 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  +crp 11870  (,)cioo 12213  abscabs 14018  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  TopBasesctb 20797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-bases 20798
This theorem is referenced by:  qdensere2  22647  rehaus  22649  resubmet  22652  tgioo2  22653  xrsmopn  22662  iccntr  22671  icccmplem3  22674  reconnlem2  22677  opnreen  22681  metdscn2  22707  evthicc  23274  opnmbllem  23415  dvlip2  23803  lhop  23824  dvcnvre  23827  nmcvcn  27678  opnrebl  32440  opnrebl2  32441  ptrecube  33539  poimirlem30  33569  opnmbllem0  33575  reheibor  33768
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