MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineeltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineeltr 25426
Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 25427. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
tglineeltr.7 (𝜑𝑅𝐵)
tglineeltr.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
Assertion
Ref Expression
tglineeltr (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglineeltr
StepHypRef Expression
1 tglineeltr.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝐵)
2 tglineelsb2.p . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineelsb2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineelsb2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐵)
87ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
9 tglineelsb2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
109ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
11 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 tglineelsb2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐵)
1413ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
15 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
16 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
172, 12, 4, 6, 8, 11, 14, 10, 15, 16tgbtwnexch 25293 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17btwncolg1 25350 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
195ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
219ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
22 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
2313ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
24 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
252, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24tgbtwncom 25283 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑆𝐼𝑃))
26 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
272, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26tgbtwnexch3 25289 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
282, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27btwncolg2 25351 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
295ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
307ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
31 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
329ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
3313ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
34 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
35 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
362, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3tgbtwnconnln3 25373 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
37 tglineelsb2.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
38 tglineelsb2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑄)
392, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13tgellng 25348 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))))
4037, 39mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4140ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4218, 28, 36, 41mpjao3dan 1392 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
4342an32s 845 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
441, 43mpidan 703 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
455ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
467ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
479ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
48 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
4913ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
50 tglineelsb2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑃)
5150necomd 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑆)
5251ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
53 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
54 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
552, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54tgbtwnouttr 25292 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
562, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55btwncolg2 25351 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
575ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
589ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
59 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
607ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
6113ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
6250ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
63 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
64 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
652, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64tgbtwncom 25283 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
662, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65tgbtwnconnln2 25376 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
672, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66colrot2 25355 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
685ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
699ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
707ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
71 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
7213ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
73 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
74 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
752, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74tgbtwnintr 25288 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
762, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75btwncolg3 25352 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑄𝐿𝑃) ∨ 𝑄 = 𝑃))
772, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76colcom 25353 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
7840ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
7956, 67, 77, 78mpjao3dan 1392 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
8079an32s 845 . . . 4 (((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
811, 80mpidan 703 . . 3 ((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
825ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
839ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
84 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
857ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
8613ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
8751ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
88 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
89 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
902, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89tgbtwnconnln1 25375 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
912, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90colrot2 25355 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
925ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
937ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
949ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
95 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
9613ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
9750ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
98 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
992, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98tgbtwncom 25283 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑅𝐼𝑃))
100 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
1012, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100tgbtwnouttr2 25290 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
1022, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101btwncolg2 25351 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1035ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1047ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
1059ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
106 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
10713ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
108 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
109 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1102, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109tgbtwnexch 25293 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1112, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110btwncolg3 25352 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
11240ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
11391, 102, 111, 112mpjao3dan 1392 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
114113an32s 845 . . . 4 (((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1151, 114mpidan 703 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
116 id 22 . . . 4 (𝜑𝜑)
117 tglineeltr.8 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
1185adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1197adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝐵)
12013adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑆𝐵)
12151adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝑆)
122 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑅𝐵)
1232, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122tgellng 25348 . . . . 5 ((𝜑𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))))
124123biimpa 501 . . . 4 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
125116, 1, 117, 124syl21anc 1322 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
12644, 81, 115, 125mpjao3dan 1392 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
12738neneqd 2795 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
128 pm5.61 748 . . 3 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄))
129128simplbi 476 . 2 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
130126, 127, 129syl2anc 692 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-cgrg 25306
This theorem is referenced by:  tglineelsb2  25427  colperpexlem3  25524  mideulem2  25526
  Copyright terms: Public domain W3C validator