MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineineq 25284
Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c (𝜑𝐴𝐵)
tglineineq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
tglineineq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
tglineineq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineineq.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
2 tglineineq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineintmo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 tglineintmo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 tglineintmo.c . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tglineintmo 25283 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
11 elin 3757 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵))
121, 11sylib 206 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐴𝑋𝐵))
13 elin 3757 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵))
142, 13sylib 206 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐴𝑌𝐵))
15 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
16 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
1715, 16anbi12d 742 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵)))
18 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐴𝑌𝐴))
19 eleq1 2675 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
2018, 19anbi12d 742 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵)))
2117, 20moi 3355 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ((𝑋𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐴𝑌𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
221, 2, 10, 12, 14, 21syl212anc 1327 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  ∃*wmo 2458  wne 2779  cin 3538  ran crn 5029  cfv 5790  Basecbs 15644  TarskiGcstrkg 25074  Itvcitv 25080  LineGclng 25081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-trkgc 25092  df-trkgb 25093  df-trkgcb 25094  df-trkg 25097  df-cgrg 25152
This theorem is referenced by:  isperp2  25356  footne  25361  lnopp2hpgb  25401  colopp  25407  lmieu  25422
  Copyright terms: Public domain W3C validator