Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgt 30869
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set 𝐺 of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgt.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgt.g 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgt 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐺   𝑚,𝑂,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧   𝑚,𝑛,𝑝,𝑞,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem tgoldbachgt
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 10nn 11552 . . 3 10 ∈ ℕ
2 2nn0 11347 . . . 4 2 ∈ ℕ0
3 7nn0 11352 . . . 4 7 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11550 . . 3 27 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 12913 . . 3 ((10 ∈ ℕ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 708 . 2 (10↑27) ∈ ℕ
76nnrei 11067 . . . 4 (10↑27) ∈ ℝ
87leidi 10600 . . 3 (10↑27) ≤ (10↑27)
9 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝑂)
10 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℙ
11 prmssnn 15437 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ⊆ ℕ
1210, 11sstri 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑂 ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
14 tgoldbachgt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
1514eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑂𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
16 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑛 ∈ ℤ)
1715, 16sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
19 3nn0 11348 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 3 ∈ ℕ0)
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
2213, 18, 20, 21reprf 30818 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶(𝑂 ∩ ℙ))
23 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2423tpid1 4335 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0, 1, 2}
25 fzo0to3tp 12594 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^3) = {0, 1, 2}
2624, 25eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0..^3)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ (0..^3))
2822, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
2928elin2d 3836 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℙ)
30 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
3130tpid2 4336 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {0, 1, 2}
3231, 25eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (0..^3)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ (0..^3))
3422, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
3534elin2d 3836 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℙ)
36 2ex 11130 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
3736tpid3 4338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {0, 1, 2}
3837, 25eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (0..^3)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ (0..^3))
4022, 39ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
4140elin2d 3836 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℙ)
4228elin1d 3835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ 𝑂)
4334elin1d 3835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ 𝑂)
4440elin1d 3835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ 𝑂)
4542, 43, 443jca 1261 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
4625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0..^3) = {0, 1, 2})
4746sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖))
4813, 18, 20, 21reprsum 30819 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ (0..^3)(𝑐𝑖) = 𝑛)
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
50 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 2 → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
5212, 28sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
5352nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
5412, 34sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
5554nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
5612, 40sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
5756nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
5853, 55, 573jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ∈ V)
6030a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ∈ V)
6136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 2 ∈ V)
6259, 60, 613jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
63 0ne1 11126 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 1)
65 0ne2 11277 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 0 ≠ 2)
67 1ne2 11278 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 1 ≠ 2)
6949, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68sumtp 14522 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → Σ𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑖) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7047, 48, 693eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
7145, 70jca 553 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
72 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝𝑂 ↔ (𝑐‘0) ∈ 𝑂))
73723anbi1d 1443 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂)))
74 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑝 + 𝑞) = ((𝑐‘0) + 𝑞))
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑐‘0) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))
7675eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑐‘0) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)))
7773, 76anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑐‘0) → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟))))
78 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑞𝑂 ↔ (𝑐‘1) ∈ 𝑂))
79783anbi2d 1444 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂)))
80 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((𝑐‘0) + 𝑞) = ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))
8180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = (𝑐‘1) → (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))
8281eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = (𝑐‘1) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)))
8379, 82anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝑐‘1) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + 𝑞) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟))))
84 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑟𝑂 ↔ (𝑐‘2) ∈ 𝑂))
85843anbi3d 1445 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ↔ ((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂)))
86 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑐‘2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
8786eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑐‘2) → (𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟) ↔ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2))))
8885, 87anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑐‘2) → ((((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + 𝑟)) ↔ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))))
8977, 83, 88rspc3ev 3357 . . . . . . . . 9 ((((𝑐‘0) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℙ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℙ) ∧ (((𝑐‘0) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘1) ∈ 𝑂 ∧ (𝑐‘2) ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9029, 35, 41, 71, 89syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
9190adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ∧ ⊤) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℕ)
9392nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ∈ ℝ)
9417zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑂𝑛 ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
96 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) < 𝑛)
9793, 95, 96ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (10↑27) ≤ 𝑛)
9814, 9, 97tgoldbachgtd 30868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
99 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V
100 hashneq0 13193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∈ V → (0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
10298, 101sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ≠ ∅)
103102neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅)
104 neq0 3963 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
105103, 104sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛))
106 tru 1527 . . . . . . . . . . 11
107105, 106jctil 559 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
108 19.42v 1921 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ (⊤ ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)))
110 exancom 1827 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(⊤ ∧ 𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
111109, 110sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
112 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤ ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛) ∧ ⊤))
113111, 112sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑐 ∈ ((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑛)⊤)
11491, 113r19.29a 3107 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
115 tgoldbachgt.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))}
116115eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑛𝐺𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))})
117 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118117anbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 → (((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119118rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120119rexbidv 3081 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121120rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑛 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
122121elrab3 3397 . . . . . . . 8 (𝑛𝑂 → (𝑛 ∈ {𝑧𝑂 ∣ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑧 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))} ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
123116, 122syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝑛𝑂 → (𝑛𝐺 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
124123biimpar 501 . . . . . 6 ((𝑛𝑂 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝𝑂𝑞𝑂𝑟𝑂) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 𝑛𝐺)
1259, 114, 124syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑛𝑂 ∧ (10↑27) < 𝑛) → 𝑛𝐺)
126125ex 449 . . . 4 (𝑛𝑂 → ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
127126rgen 2951 . . 3 𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)
1288, 127pm3.2i 470 . 2 ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))
129 breq1 4688 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 ≤ (10↑27) ↔ (10↑27) ≤ (10↑27)))
130 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑚 = (10↑27) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (10↑27) < 𝑛))
131130imbi1d 330 . . . . 5 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
132131ralbidv 3015 . . . 4 (𝑚 = (10↑27) → (∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺) ↔ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺)))
133129, 132anbi12d 747 . . 3 (𝑚 = (10↑27) → ((𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)) ↔ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))))
134133rspcev 3340 . 2 (((10↑27) ∈ ℕ ∧ ((10↑27) ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 ((10↑27) < 𝑛𝑛𝐺))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺)))
1356, 128, 134mp2an 708 1 𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ≤ (10↑27) ∧ ∀𝑛𝑂 (𝑚 < 𝑛𝑛𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {ctp 4214   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  7c7 11113  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  ..^cfzo 12504  cexp 12900  #chash 13157  Σcsu 14460  cdvds 15027  cprime 15432  reprcrepr 30814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hgt749 30850  ax-ros335 30851  ax-ros336 30852
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-pmtr 17908  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349  df-atan 24639  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-dp2 29706  df-dp 29724  df-repr 30815  df-vts 30842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator