Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtd 30868
 Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtd.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtd.1 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtd (𝜑 → 0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtd.o . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 tgoldbachgtd.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑂)
32ad3antrrr 766 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁𝑂)
4 tgoldbachgtd.1 . . . 4 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
54ad3antrrr 766 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (10↑27) ≤ 𝑁)
6 elmapi 7921 . . . 4 ( ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ) → :ℕ⟶(0[,)+∞))
76ad3antlr 767 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → :ℕ⟶(0[,)+∞))
8 elmapi 7921 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
98ad2antlr 763 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10 simpr1 1087 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955))
11 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑚) = (𝑘𝑛))
1211breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ↔ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955)))
1312cbvralv 3201 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
1410, 13sylib 208 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
1514r19.21bi 2961 . . 3 (((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
16 simpr2 1088 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414))
17 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚) = (𝑛))
1817breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚) ≤ (1.414) ↔ (𝑛) ≤ (1.414)))
1918cbvralv 3201 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛) ≤ (1.414))
2016, 19sylib 208 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛) ≤ (1.414))
2120r19.21bi 2961 . . 3 (((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛) ≤ (1.414))
22 simpr3 1089 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑦))
24 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
2524oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
2623, 25oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
2827oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
2928fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
3026, 29oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
3130cbvitgv 23588 . . . 4 ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
3222, 31syl6breq 4726 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
331, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32tgoldbachgtda 30867 . 2 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
341, 2, 4hgt749d 30855 . 2 (𝜑 → ∃ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
3533, 34r19.29vva 3110 1 (𝜑 → 0 < (#‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945   ∩ cin 3606   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ↑𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  ℤcz 11415  ;cdc 11531  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ↑cexp 12900  #chash 13157  expce 14836  πcpi 14841   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432  ∫citg 23432  Λcvma 24863  _cdp2 29705  .cdp 29723  reprcrepr 30814  vtscvts 30841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hgt749 30850  ax-ros335 30851  ax-ros336 30852 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-pmtr 17908  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349  df-atan 24639  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-dp2 29706  df-dp 29724  df-repr 30815  df-vts 30842 This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  30869
 Copyright terms: Public domain W3C validator